שימוש בפיגומים כתמיכה במורים כמעצבי משימות בגאומטריה: מקרה מבחן

Mirit Rachamim, Abraham Berman & Boris Koichu (2022). Using scaffolds in support of teachers as task designers in geometry: a case study, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, DOI: 10.1080/0020739X.2022.2100293

עיקרי הדברים:

• מתן משימות מעוצבות לתלמידים משפר את ההישגים, ומגביר את המוטיבציה, החוסן והרצון לעסוק בבעיות מתמטיות מורכבות
• אחת הדרכים להגביר את המודעות של המורים לעקרונות אלה - ובכך לשפר את איכות למידת המתמטיקה - היא לעודד מעורבות בונה בפתרון ובעיצוב משימות מתמטיות באיכות גבוהה
• האיזון הנכון בין אתגר תהליך העיצוב של המורים לבין התמיכה בו הוא חיוני לפיתוח מקצועי פורה שיכול לעזור למורים להפוך למעצבי משימות עבור תלמידיהם
• כלים ואסטרטגיות פיגומים לפתרון בעיות, המשמשים לסייע לתלמידים בפתרון בעיות, יכולים לקדם את יכולתו של מורה מתחיל לעצב משימות לתלמידים

כיצד ניתן לשפר את עיצוב המשימות של מורים בפיתוח מקצועי? לפי מחקר זה, ניתן לעשות זאת באמצעות פיגומים, המשמשים לפתרון בעיות. המחקר מתאר פיתוח מקצועי של ארבעה מורים למתמטיקה, שכלל 10 מפגשים. המורים נחשפו תחילה למשימה מתוכננת היטב בגיאומטריה כלומדים, ולאחר מכן התבקשו לעצב משימות גיאומטריה חדשות עבור תלמידיהם. הפיגומים שסופקו להם היו דוגמה אישית (modelling), השתקפות, ניסוח ודוגמאות מעובדות. ניתוח הנתונים מראה כיצד השימוש בפיגומים מסוימים היה מועיל תוך שימור האוטונומיה של המורים כמעצבי משימות.

לקריאת התקציר באנגלית

לקריאה נוספת: כל סיכומי המאמרים בנושא גאומטריה

1. הקדמה

הזדמנויות ללמידה מתמטית מוגדרות ותלויות במידה רבה במשימות המתמטיות המוצגות בכיתה (Johnson et al., 2017). לכן, הבחירה והניסוח של משימות מתמטיות איכותיות נמנות עם הפעולות הפדגוגיות החשובות ביותר שמורה צריך לבצע (Crespo, 2003).

יכולת המורים להעריך את אופי ואיכות המשימות שהם מציעים לתלמידיהם קשורה במידה רבה לידע שלהם על העקרונות של משימות מעוצבות היטב. אחת הדרכים להגביר את המודעות של המורים לעקרונות אלה - ובכך לשפר את איכות למידת המתמטיקה - היא לעודד מעורבות בונה בפתרון ובעיצוב משימות מתמטיות באיכות גבוהה (Jacobs & Morita, 2002). בעשורים האחרונים היו ניסיונות רבים לקדם אנשי מקצוע בתחום פיתוח מקצועי (PD) המבוסס על משימות, בהישען על מורים למתמטיקה המתמקדים בעיצוב ובשימוש במשימות שיכולות לשפר את למידת המתמטיקה (Goodchild et al., 2013).

רק מחקרים בודדים מתארים כיצד ניתן לעזור למורים לעצב משימות בעצמם (Knott et al., 2013). למעשה, לעתים קרובות פעילות המורה ב-PD מתמקדת בעיקר בהתאמה משימה כבר מתוכננת היטב שהציגו מחנכי המתמטיקה.

2. רקע תיאורטי

2.1. משימות מעוצבות היטב

מחקרים מצביעים על כך שמתן משימות מעוצבות לתלמידים משפר את ההישגים (Taylor & Bilbrey, 2012); מגביר את המוטיבציה, החוסן והרצון לעסוק בבעיות מתמטיות מורכבות (Makar & Fielding-Wells, 2018); ומפתח הבנה של מושגים ועקרונות במתמטיקה (Boaler, 2015).

Swan (2007) סיכם את המאפיינים של משימות מעוצבות כמתואר בספרות. ביניהם:

(1) הן (המשימות המעוצבות היטב) מתמקדות ישירות במכשולים רעיוניים משמעותיים ובמאפיינים מבניים כלליים של מצבים במקום לגשת לנושאים בהדרגה (כלומר בעקיפין מהפשוט והספציפי למורכב והכללי יותר);

(2) הן מעוררות ובונות על ידע קודם;

(3) הן מצמידות שאלות וגירויים זה לזה כדי לייצר הפתעה, מתח וקונפליקט קוגניטיבי שניתן לפתור באמצעות רפלקציה ודיון;

(4) הן מציעות משימות נגישות וניתנות להרחבה ומעודדות קבלת החלטות, יצירתיות ותשאול מסדר גבוה יותר;

(5) הן משתמשות במספר ייצוגים כדי לגשר בין מושגים;

(6) הן מעודדות תלמידים ללמד זה את זה.

לפי Swan (2007), "קל לקבוע את העקרונות, אבל האתגר הוא ב'בנייה' ובחידוד משימות כך שניתן יהיה להשתמש בהן ביעילות בכיתה" (עמ' 219). משימות מתמטיות הדורשות פרשנות של ייצוגים מרובים, הערכת הצהרות מתמטיות (שם), או מיון (Koichu et al., 2015) הן דוגמאות למשימות מעוצבות היטב.

על מנת שהמורים יוכלו להעסיק את התלמידים במשימות מעוצבות היטב בכיתה, חיוני שיתנסו במשימות מאתגרות ומעוצבות כלומדים. יתרה מכך, תמיכה במורים העוסקים במשימות מתוכננות היטב יכולה לפתח את ההבנה המושגית של המורים ואת חוויית הבעלות המתמטית של המורים (Thanheiser, 2015). התנסויות כאלה, בתורן, יכולות להוביל את המורים לשנות את אמונותיהם ולנסח מחדש את תפיסות ההוראה והלמידה שלהם (Swan, 2007) וגם לאפשר להם להבין טוב יותר את סוג ההוראה המצופה מהם (Thanheiser, 2015).

2.2. מורים כמעצבי משימות

בעשורים האחרונים נעשו ניסיונות לקדם את ההתפתחות המקצועית של מורים למתמטיקה על ידי עיסוקם בעיצוב משימות.

מחקרים שעסקו מורים בעיצוב משימות דיווחו על השינויים שבאו לידי ביטוי בתפיסת ההוראה של המורים המאתגרת נורמות קיימות. Goodchild et al (2013), למשל, דיווחו כי מורים נטו להרהר יותר בשיטות העבודה שלהם על-ידי התחשבות ביקורתית בדרכים מבוססות של חשיבה, הוויה ועשייה; שקלו אפשרויות לשינוי; החלו לפתח שפה הקשורה בניסיון רעיונות חדשים ואיסוף נתונים; הגבירו את המודעות שלהם לצורך לתת משימות מרתקות לתלמידים; ועיצבו משימות מאתגרות שלא תמיד עמדו בפרוטוקולי ההוראה. Thanheiser (2015) ציין תרומה נוספת שתהליך העיצוב יכול לתת למורים: תחושת הבעלות של המורים במתמטיקה.

במחקר זה השתמשו החוקרים בפיגומים שנלקחו מאסטרטגיות גישת חניכה קוגניטיבית (Collins, 1991 Tawfik et al., 2018;) גישת החניכה הקוגניטיבית מתייחסת לאינטראקציות בין מומחה למתחילים. בתהליך התלמדות קוגניטיבי זה, "מבני הידע של המומחה, אסטרטגיות פתרון בעיות, ויסות עצמי ותהליכי טיעון מעוצבים באמצעות הדרכה, פיגום ואימון של המנטור" (Tawfik et al., 2018, עמ'. 3). גישה זו מציעה מספר אסטרטגיות שיכולות לתמוך בפיתוח מומחיות:

דוגמה אישית (modelling): המומחים מבצעים משימה שהטירון יכול לצפות בה.

אימון: הנחיית תלמידים בעת ביצוע משימה.

פיגומים: סיוע ממוקד שניתן לתלמידים בעת ביצוע משימה.

ניסוח: עידוד התלמידים להביע מילולית את תהליך החשיבה שלהם.

רפלקציה: מתן הזדמנויות להתבוננות פנימית במשימה.

חקירה: הטירון רשאי לכוון בעצמו את חיפושיו.

למרות שבפתרון בעיות פיגום הוא אחד מהאסטרטגיות או העקרונות הקוגניטיביים, במחקר זה הוא משמש במובן רחב יותר: כמגוון הפעולות שמבצעים מחנכים כדי לתמוך בלומדים כאשר יש צורך בסיוע.

פיגום נוסף שבו נעשה שימוש במחקר הוא דוגמה שעובדת (worked example). דוגמה שעובדת מספקת פתרון שלב אחר שלב לבעיה או משימה (Kirschner et al., 2006), שמטרתן בדרך כלל להבהיר מושג או הליך (Retnowati et al., 2010). לימוד דוגמאות עובדות מפחית את העומס הקוגניטיבי של הלומדים על זיכרון העבודה, ועל ידי כך משפר את הלמידה וההעברה (Van Loon-Hillen et al., 2010). בלימוד דוגמאות מעובדות התלמידים לומדים כיצד לפתור בעיות זהות וחדשות, שבגינן עליהם להתאים בצורה גמישה את הליך הפתרון הנלמד (Sweller et al., 1998 ב-Van Loon-Hillen et al., 2010, עמ'. 6).

2.3. גורמים לטעויות נפוצות בגיאומטריה

מחקרים רבים הראו שלתלמידים יש תפיסות מוטעות לגבי מושגי גיאומטריה בסיסיים מאוד, מה שפוגע בביצועים (Battista, 2007). התפיסות השגויות הקשורות לממצאי המחקר הזה הן:

• פערים בין הדימוי הרעיוני להגדרתו (Fischbein, 1987), כאשר התלמידים מבססים את שיפוטיהם על תפיסתם של הדימוי החזותי ולא על ההגדרה הפורמלית. זה יכול להוביל, למשל, לתפיסה השגויה שלטרפז לעולם אין זוויות ישרות.
• פערים בין מושגים בחיי היומיום ובמתמטיקה (Patkin, 2011). לדוגמה, המושג "אלכסון" בחיי היומיום מרמז על קו נטוי ואילו במתמטיקה זהו קטע קו בין שני קודקודים שאינו קצה. הבדל זה יכול להוביל תלמידים לפסול אלכסונים אופקיים או אנכיים.
• היעדר דרישות הגדרה (Hershkowitz, 1990). תלמידים נוטים להגדיר מושגים גיאומטריים בצורה פשוטה ככל האפשר במקום על ידי התחשבות בכל התכונות שחייבות להתקיים עבור כל צורה או ייצוג של מושג. לדוגמה, תלמיד יכול לומר שפירמידה היא פריזמה למרות שלא כל הדרישות הדרושות להגדרת פריזמה מתקיימות.
• שיפוט על סמך מושג ספונטני/אינטואיטיבי ולא על סמך קביעות מתמטיות פורמליות (Patkin, 2015). לאחר שלמדו ששטח המקבילית שווה לשטח המלבן המתקבל על ידי חיתוך המשולש ישר זווית מצד אחד של המקבילית והזזתו לצד השני, יכולים התלמידים להסיק כי מעוין יכול להיות להשתנות באופן דומה לריבוע ושטחו יהיה אפוא ריבוע אורך הצלע שלו.
• שיפוט על סמך הכלל האינטואיטיבי "יותר מא', יותר מב'". לדוגמה, תלמידים עלולים לחשוב שאורך הקווים משפיע על גודל הזווית; קווים ארוכים יותר (א') פירושם מבחינתם זוויות גדולות יותר (ב').
• שיפוט בהתבסס על הכלל האינטואיטיבי "אותו א', אותו ב'" (שם). לדוגמה, תלמידים עלולים להסיק שאם שטחי המצולעים שווים, אז גם היקפים שלהם יהיו שווים.

התפיסה המוטעית העיקרית בהיררכיה של מרובעים (הנושא שהמורים בחרו להתמקד בו במחקר זה) היא הנטייה של תלמידים להשתמש בדוגמה של אבטיפוס נפוץ כדי לשפוט דוגמאות אחרות במקום להשתמש בהגדרת המושג ובתכונותיו (Fischbein, 1987). הדבר עלול להובילם לזהות אבטיפוס מרובע ולהבין כל מרובע במנותק מהאחרים ((Kim & Lee, 2016. לדוגמה, תלמידים יכולים להתעקש שריבוע אינו מלבן, מעוין אינו מקבילית וכו'.

3. 3. מתודולוגיה

3.1. הקשר ועיצוב ניסיוני

שלושה ממורי בית הספר היסודי בפיתוח מקצועי לימדו מתמטיקה ומקצועות נוספים ואחד לימד רק מתמטיקה. שניים מהמורים לימדו מתמטיקה ללא הכשרה פורמלית כמורים במקצוע זה. הפיתוח המקצועי כלל 10 סדנאות של שלוש שעות ונמשך שישה חודשים.

לאחר הסדנה הראשונה התבקשו המורים לעבוד בזוגות ולכתוב רשימה של טעויות נפוצות של תלמידים בגיאומטריה שהם נתקלים בהן בהוראה. לאחר מכן התבקשו המורים לבחור בתפיסות מוטעות ספציפיות כבסיס לעיצוב יחידות הוראה.

המורים הועסקו בתכנון שיתופי של יחידות הוראה שלמות ולא בהתמקדות במשימות ספציפיות.

4. 4. דיון

מעצבי משימות מתחילים זקוקים להרבה מאוד סיוע, הדרכה ופיגומים כדי לעצב משימות עבור התלמידים שלהם. קל יחסית לקבוע עקרונות של משימה מתוכננת היטב, אך הם קשים ליישום. זה נכון אפילו עבור מעצבי משימות מנוסים; זה נכון אפילו יותר עבור מורים שהם מעצבי משימות חסרי ניסיון. החוקרים אישרו את ההצלחה של שימוש בפיגומים מגורים על ידי גישת חניכה קוגניטיבית (Collins et al., 1991 ב-Tawfik et al., 2018) וגישת הדוגמאות שעובדות (Retnowati et al., 2010).

5. דברי סיום

החוקרים נוכחו לדעת שהאיזון הנכון בין אתגר תהליך העיצוב של המורים לבין התמיכה בו הוא חיוני לפיתוח מקצועי פורה שיכול לעזור למורים להפוך למעצבי משימות עבור תלמידיהם. הם טוענים שכלים ואסטרטגיות פיגומים לפתרון בעיות, המשמשים לסייע לתלמידים בפתרון בעיות, יכולים לשמש, כאנלוגיה, לקידום יכולתו של מורה מעצב משימות מתחיל לעצב משימות עבור התלמידים.

מקורות

Battista, M. T. (2007). The development of geometric and spatial thinking. In F. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 843–908). National Council of Teachers of Mathematics.

Boaler, J. (2015). Mathematical mind-sets: Unleashing students’ potential through creative math, inspiring messages and innovation teaching. John Wiley & Sons.

Crespo, S. (2003). Learning to pose mathematical problems: Exploring changes in preservice teachers’ practices. Educational Studies in Mathematics, 52(3), 243–270. https://doi.org/10.1023/A: 1024364304664

Elementary Science Study. Attribute Games and Problems. New York: McGrawHill, 1974.

Ezer, H. (2009). Self-study approaches and the teacher-inquirer. Sense. https://doi.org/10.1163/97890 87907921

Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics: An educational approach. Reidel.

Fischbein, E. (1993). The interaction between the formal, the algorithmic and the intuitive components in a mathematical activity. In R. Biehler, R. W. Scholz, R. Straser, & B. Winkelmann (Eds.), Didactics of mathematics as a scientific discipline (pp. 231–245). Kluwer.

Goodchild, S. (2014). Mathematics teaching development: Learning from developmental research in Norway. ZDM: International Journal on Mathematics Education, 46(2), 305–316. https://doi.org/ 10.1007/s11858-013-0567-6

Goodchild, S., Fuglestad, A. B., & Jaworski, B. (2013). Critical alignment in inquiry-based practice in developing mathematics teaching. Educational Studies in Mathematics, 84(3), 393–412. https://doi.org/10.1007/s10649-013-9489-z

Hershkowitz, R. (1990). Psychological aspects of learning geometry. In P. Nesher & J. Kilpatrick (Eds.), Mathematics and cognition (pp. 70–95). Cambridge University Press.

Jacobs, J., & Morita, E. (2002). Japanese and American teachers’ evaluations of videotaped mathematics lessons. Journal for Research in Mathematics Education, 33(3), 154–175. https://doi.org/10.2307/749723

Jaworski, B. (2005). Learning communities in mathematics: Creating an inquiry community between teachers and didacticians. Research in Mathematics Education, 7(1), 101–119.

https://doi.org/10.1080/14794800008520148

Johnson, H. L., Coles, A., & Clarke, D. (2017). Mathematical tasks and the student: Navigating ‘tensions of intentions’ between designers, teachers, and students. ZDM: Mathematics Education, 49(6), 813–822. https://doi.org/10.1007/s11858-017-0894-0

Jones, K., & Pepin, B. (2016). Research on mathematics teachers as partners in task design. Journal of Mathematics Teacher Education, 19(2), 105–121. https://doi.org/10.1007/s10857-016-9345-z

Kieran, C., Krainer, K., & Shaughnessy, J. M. (2013). Linking research to practice: Teachers as key stakeholders in mathematics education research. In M. A. Clements, A. Bishop, C. Keitel, J. Kilpatrick, & F. Leung (Eds.), Third international handbook of mathematics education, volume B (pp. 361–392). Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-4684-2_12

Kim, S., & Lee, C. (2016). Effects of robot for teaching geometry to fourth graders. International Journal of Innovation in Science and Mathematics Education, 24(2), 52–70.

Kirschner, P. A., Sweller, J., & Clark, R. E. (2006). Why minimal guidance during instruction does not work: An analysis of the failure of constructivist, discovery, problembased, experiential, and inquiry-based teaching. Educational Psychologist, 41(2), 75–86. https://doi.org/10.1207/s15326985ep4102_1

Knott, L., Olson, J., Adams, A., & Ely, R. (2013). Task design: Supporting teachers to independently create rich tasks. In C. Margolinas (Ed.), Task design in mathematics education: Proceedings of ICMI study 22 (pp. 599–608). HAL Open Science.

Koichu, B., & Pinto, A. (2018). Developing education research competencies in mathematics teachers through TRAIL: Teacher-researcher alliance for investigating learning. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology. https://doi.org/10.1007/s42330-018-0006-3

Koichu, B., Zaslavsky, O., & Dolev, L. (2015). Effects of variations in task design on mathematics teachers’ learning experiences: A case of a sorting task. Journal of Mathematics Teacher Education, 19(4), 349–370. https://doi.org/10.1007/s10857-015-9302-2

Kolb, D. A. (1984). Experiential learning: Experience as the source of learning and development (Vol. 1). Prentice-Hall.

Krainer, K. (2014). Teachers as stakeholders in mathematics education research. The Mathematics Enthusiast, 11(1), 49–60. https://doi.org/10.54870/1551-3440.1291. https://scholarworks.umt. edu/tme/vol11/iss1/4

Makar, K., & Fielding-Wells, J. (2018). Shifting more than the goal posts: Developing classroom norms of inquiry-based learning in mathematics. Mathematics Education Research Journal, 30(1), 53–63. https://doi.org/10.1007/s13394-017-0215-5

Moss, J., Hawes, Z., Naqvi, S., & Caswell, B. (2015). Adapting Japanese lesson study to enhance the teaching and learning of geometry and spatial reasoning in early years classrooms: A case study. ZDM: International Journal on Mathematics Education, 47(3), 377–390. https://doi.org/10.1007/s11858-015-0679-2

Ohtani, M. (2011). Teachers’ learning and lesson study: Content, community, and context. In B. Ubuz (Ed.), Proceedings of the 35th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 63–66). PME.

Patkin, D. (2015). Various ways of inculcating new solid geometry concepts. International Journal of Education in Mathematics, Science and Technology, 3(2), 140–154.

Patkin, D., & Gazit, A. (2011). Effect of difference in word formulation and mathematical characteristics of story problems on mathematics preservice teachers and practising teachers. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 42(1), 75–87. https://doi/ 10.1080/0020739X.2010.519790

Retnowati, E., Ayres, P., & Sweller, J. (2010). Worked example effects in individual and group work settings. Educational Psychology, 30(3), 349–367. https://doi.org/10.1080/01443411003659960

Stavy, R., & Tirosh, D. (2000). How students (mis-)understand science and mathematics: Intuitive rules. Teachers College Press.

Strauss, A., & Corbin, J. (1990). Basics of qualitative research: Grounded theory procedures and techniques. Sage.

Swan, M. (2007). The impact of task-based professional development on teachers’ practices and beliefs: A design research study. Journal of Mathematics Teacher Education, 10(4–6), 217–237.

https://doi.org/10.1007/s10857-007-9038-8

Sweller, J. (2006). The worked example effect and human cognition. Learning and Instruction, 16(2), 165–169. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2006.02.005

Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics, with special reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12(2), 151–169. https://doi.org/10.1007/BF00305619

Tawfik, A., Law, V., Ge, X., Xing, W., & Kim, K. (2018). The effect of sustained vs. faded scaffolding on students’ argumentation in ill-structured problem solving. Computers in Human Behavior, 1–14. https://doi.org/10.1016/j.chb.2018.01.035

Taylor, J., & Bilbrey, J. (2012). Effectiveness of inquiry based and teacher directed instruction on an Alabama elementary school. Journal of Instructional Pedagogies, 8, 1–16. http://www.aabri.com.

Taylor, L. A. (2017). How teachers become teacher researchers: Narrative as a tool for teacher identity construction. Teaching and Teacher Education, 61, 16–25. https://doi.org/10.1016/j.tate.2016.09. 008

Thanheiser, E. (2015). Developing prospective teachers’ conceptions with well-designed tasks: Explaining successes and analyzing conceptual difficulties. Journal of Mathematics Teacher Education, 18(2), 141–172. https://doi.org/10.1007/s10857-014-9272-9

Tirosh, D., & Wood, T. (Eds.). (2008). The international handbook of mathematics teacher education (Vol. 2). Sense Publishers.

Van Loon-Hillen, N., Van Gog, T., & Brand-Gruwel, S. (2010). Effects of worked examples in a primary school mathematics curriculum. Interactive Learning Environments, 18(1), 1–11. https://doi.org/10.1080/10494820802158983

Vinner, S., & Hershkowitz, R. (1983). On concept formation in geometry. Zentralblatt fur Didactic der Mathematic, 15, 20–25.

Visnovska, J., Cobb, P., & Dean, C. (2012). Mathematics teachers as instructional designers: What does it take? In G. Gueudet, B. Pepin, & L. Trouche (Eds.), From text to ‘lived’ resources: Mathematics curriculum materials and teacher development (pp. 323–341). Springer.

Zaslavsky, O. (2008). Meeting the challenges of mathematics teacher education through design and use of tasks that facilitate teacher learning. In B. Jaworski & T. Woods (Eds.), The mathematics teacher educator as a developing professional (Vol. 4, pp. 93–114). (The International Handbook of Mathematics Teacher Education). Sense Publishers.

Zaslavsky, O., & Sullivan, P. (2011). Constructing knowledge for teaching: Secondary mathematics tasks to enhance prospective and practicing teacher learning. Springer.