תהליך היווצרותם של מושגים "מדעיים" במתמטיקה
מאת: חיותה רגב
מקור: סיכום מעובד של הרצאה מהכנס הבינ"ל החמישי בהכשרת מורים – "הכשרת מורים על פרשת דרכים", מכון מופ"ת
מטרות
מטרת מחקר זה היא לתאר כיצד נבנים מושגים מדעיים בתחום המתמטיקה אצל סטודנטיות להוראה, מורות מאמנות ותלמידיהן בבית הספר היסודי.
ההקשר
מחקר זה נערך בשנת הלימודים תשס"ו במסגרת תוכנית ייחודית בהכשרת מורים. ההקשר הוא השותפות בין המכללה לבין בית ספר יסודי במרכז הארץ בו לומדים ומלמדים סטודנטים להוראה. הבחנתי קושי בהתמודדות הסטודנטים והתלמידים עם הבניית מושגים מתמטיים: כאשר הסטודנטיות נשאלו על פירוש מתמטי, הן הסבירו אותו בעזרת מושגים יום-יומיים. הניסוחים היו מעורפלים והטעו את הילדים. מתוך כך הבנתי, שיש בעיה בהבניית מושגים מדעיים. על מנת לשפר את ההדרכה שלי בתחום זה, החלטתי לבחון כיצד נבנים מושגים מתמטיים בבית הספר היסודי.
הדוגמה המתוארות במחקר זה עוסקת במושג "עוקב". הגדרתו המילונית בהקשר למספרים היא: "מספר שבא מיד אחרי מספר אחר" וההגדרה המקובלת בקהילת המתמטיקה היא: "מספר אחד גדול מהמספר הקודם לו ביחידה שלמה אחת בקבוצת המספרים השלמים".
המסגרת התיאורטית
על מושגים ספונטאניים ומושגים מדעיים
עם כניסתו לבית הספר, הילד מצויד ב"ערכת מושגים" שרכש במהלך התפתחותו - מושגים יומיומיים, המאופיינים בהבנה לא מודעת ובשימוש ספונטאני. פיאז'ה (1976), מגדיר את תקופת בית הספר היסודי, כגיל האופרציות המוחשיות. התקופה מאופיינת ביכולת הילד לפתח מושגים מתמטיים מתוך הרהורים ותהיות אודות פעילות שלו בעצמים מוחשיים. לעומתו טוען ויגוצקי (קזולין ועילם, 2003; צלרמאיר וקזולין, 2004), כי ההתפתחות של המושגים המתמטיים המדעיים איננה מתרחשת מאליה, וגם לא מתוך העיסוק בעצמים המוחשיים בלבד, אלא במהלך קשרי הגומלין בין המושגים המדעיים המוצגים לילד בתיווך מבוגרים לבין המושגים היומיומיים של הילד, הקשורים לאותן התופעות. התפתחות המושגים הספונטאניים (היומיומיים) והלא ספונטאניים (המדעיים) קשורים זה בזה. להוראה תפקיד מכריע בהתפתחותם ובהתהוותם. מכאן שתהליך היווצרותם ותפקיד המורה מחייבים התייחסות כבר במהלך ההכשרה להוראה.
על הוראת המושגים המדעיים
לדעת ויגוצקי (קזולין ועילם, 2003; צלרמאיר וקזולין, 2004), רכישת המושגים המדעיים תלויה, מחד גיסא במושגים שהתפתחו במהלך הניסיון של הילד עצמו, ומאידך גיסא באינטראקטיביות בין מערכת המושגים הזו לבין מערכת המושגים התיאורטית שמוצגת לילד מבחוץ. במלים אחרות, המושגים המדעיים אינם נרכשים על-ידי שינון פשוט ואינם מוחדרים לזיכרון, אלא נוצרים ומעוצבים על ידי פעילות מחשבתית מאומצת של הלומד, וכתוצאה מהדיאלקטיקה בין שני הכיוונים: מעלה- מטה (מההגדרות התיאורטיות אל ההגדרות האמפיריות) ומטה-מעלה (מההגדרה האמפיריות אל ההגדרות התיאורטיות). הלמידה הפורמאלית שמתרחשת בבית הספר מכוונת לזמן את המעבר משליטה במושגים ספונטאניים - יום יומיים לשליטה במושגים אקדמיים-מדעיים (פלד-אלחנן, 2002).
לטענת קלאוזמייר (1985, אצל מרזנו 1998, תרגום 2002), קיימים מושגים מופשטים מאד שאינם נקלטים לאחר הוראה ישירה אלא רק לאחר פעילות מקדמת כמו השוואה למושגים דומים או הבאת דוגמאות ואי דוגמאות - דוגמאות נגדיות.
טול ווינר (, Tall& Vinner1981) טוענים, שתלמידים יוצרים לעצמם דימויים של מושגים, דימויים המורכבים מסך כל המבנים הקוגניטיביים, התמונות המנטאליות, התכונות והתהליכים הקשורים בתודעתו של הלומד למושג. דימוי המושג עלול לעמוד בסתירה להגדרתו המתמטית של המושג. במצב של קונפליקט בין האמת המתמטית-פורמאלית לבין התחושה האינטואיטיבית-ספונטאנית, התחושה האינטואיטיבית ידה על העליונה (פישביין, תירוש וברש, 1998). מצב זה מקשה על ההוראה-למידה של המושג.
מחקר זה יתאר התמודדות עם קשיים בבניית מושגים מדעיים בתחום המתמטיקה אצל סטודנטיות להוראה ואצל תלמידיהן בבית הספר היסודי ויתמקד בתפקיד המורה בתהליך.
מתודולוגיה
מחקר זה הוא מחקר איכותי- תיאורי.
איסוף הנתונים
נערך במהלך שנת תשס"ו וכולל תגובות מסטודנטיות, ממורות ומתלמידיהן בבית הספר היסודי. הנתונים נאספו בעזרת:
1. 20 שיחות בין מורה-סטודנטית לבין תלמידים, שהוקלטו ותומללו.
2. 20 עבודות סיום של סטודנטיות להוראה.
3. 20 ראיונות מתועדים, בין החוקרת לבין סטודנטיות ומורות למתמטיקה.
ניתוח הנתונים
הנתונים נותחו ופורשו על-ידי ניתוח תוכן של השיחות בהקשר למושג המילוני-היומיומי ולמושג המתמטי-המדעי "מספר עוקב".
המשתתפים
30 סטודנטיות להוראה ומורות מאמנות למתמטיקה בבית ספר יסודי ותגובות מ – 100 תלמידים בכיתות ג' – ו'.
אתיקה
מסגרת השותפות בין המכללה לבין בית הספר אפשרה לחוקרת לקבל אישור לאיסוף הנתונים והסכמה לשימוש בהם לצרכי המחקר.
ממצאים
המשתתפים נשאלו מהו העוקב למספר "רבע" והתבקשו להסביר את תשובתם. ניתוח תוכן של התגובות אפשר הבחנה בין הסברים הקשורים במושג היומיומי, הסברים שניתנו על-ידי תלמידים צעירים או כאלו המוגדרים חלשים, לבין הסברים, שנתנו על-ידי מרבית המשתתפים וקשורים בהגדרה המתמטית למושג הפורמאלי-מדעי.
בהתאם לכך, התגובות מוינו לשלוש קבוצות:
קבוצה ראשונה – תגובות המאופיינות על-ידי שימוש במושג אינטואיטיבי-יומיומי במשמעות: "המספר שאחריו" או "שבא מיד אחריו". שימוש במושג "עוקב" באופן ספונטאני נעדר מודעות ולכן גם נעדר יכולת הכללה והבחנה. בקבוצה זו היו בעיקר תלמידים מכיתות ג', ד', שטרם פגשו במושג המדעי "עוקב" במפגש הוראה עם מבוגר ומשתמשים במושג זה באופן ספונטאני ללא תחושת צורך בבדיקה נוספת של הדברים.
קבוצה שנייה – תגובות המאופיינות על ידי הבנה חלקית וראשונית של המושג המדעי-פורמאלי. התגובות אינן ספונטאניות, אלא שהשימוש במושג המדעי נמצא בראשית תהליך הבנייתו. לטיעון, כי לכל מספר (שלם) קיים מספר העוקב לו, התחושה האינטואיטיבית חזקה ולכן איננו חשים צורך להוכיח טענה זו בדרך פורמאלית ובטבעיות עושים מעבר (חיוץ - אקסטרפולציה) לכל קבוצת מספרים.
קבוצה שלישית – תגובות המעידות על הבנת המושג המדעי "עוקב" בהקשר לעולם המספרים הרציונאליים.
מההסבר שהמשתתפים נתנו לתשובות שלהם עולה שמרבית המשתתפים, פרחי הוראה, מורים ותלמידים, יודעים ש"עוקב הוא המספר ועוד אחד" גם אם לא ידייקו בהגדרה הפורמאלית ולא יאמרו "מספר שלם ועוד יחידה שלמה אחת". הם גם יודעים לומר שבין כל שני שברים יש אין סוף שברים ואף יודעים להסביר טענה זו. אך עדיין עשו אנלוגיה למערכת מספרים מוכרת יותר ואמרו, כי "העוקב לרבע הוא אחד ורבע", "שתי חמישיות", או " 0.26 ", מה שמראה על תפיסה מוגבלת ושגויה של המושג המתמטי "עוקב".
מסקנות
להוראה חשיבות רבה בהתמודדות עם אנאלוגיות, שלעיתים מקדמות ולעיתים מפריעות להתפתחות של המושגים המדעים. לתיווכו של המורה תפקיד מכריע במהלך קשרי גומלין בין מושגים מדעיים המוצגים לילד לבין המושגים היומיומיים של הילד, שנוצרים על בסיס הפעילות הספונטאנית של חשיבת הלומד.
תרומת מחקר זה היא בהצעת אסטרטגיות להתמודדות עם אנלוגיות שמעקבות את תהליך היווצרות מושגים מדעיים במתמטיקה וטיפוח אנלוגיות שתורמות להתפתחותם של המושגים המדעיים.
תהליכים אלו בתיווך מבוגר-מומחה חייבים להתחיל בפעילות עם סטודנטיות, כמי שעשויים להשפיע על אופן התהוותם של המושגים המתמטיים - המדעיים של הילדים בעתיד.
מטרת מחקר זה היא לתאר כיצד נבנים מושגים מדעיים בתחום המתמטיקה אצל סטודנטיות להוראה, מורות מאמנות ותלמידיהן בבית הספר היסודי.
ההקשר
מחקר זה נערך בשנת הלימודים תשס"ו במסגרת תוכנית ייחודית בהכשרת מורים. ההקשר הוא השותפות בין המכללה לבין בית ספר יסודי במרכז הארץ בו לומדים ומלמדים סטודנטים להוראה. הבחנתי קושי בהתמודדות הסטודנטים והתלמידים עם הבניית מושגים מתמטיים: כאשר הסטודנטיות נשאלו על פירוש מתמטי, הן הסבירו אותו בעזרת מושגים יום-יומיים. הניסוחים היו מעורפלים והטעו את הילדים. מתוך כך הבנתי, שיש בעיה בהבניית מושגים מדעיים. על מנת לשפר את ההדרכה שלי בתחום זה, החלטתי לבחון כיצד נבנים מושגים מתמטיים בבית הספר היסודי.
הדוגמה המתוארות במחקר זה עוסקת במושג "עוקב". הגדרתו המילונית בהקשר למספרים היא: "מספר שבא מיד אחרי מספר אחר" וההגדרה המקובלת בקהילת המתמטיקה היא: "מספר אחד גדול מהמספר הקודם לו ביחידה שלמה אחת בקבוצת המספרים השלמים".
המסגרת התיאורטית
על מושגים ספונטאניים ומושגים מדעיים
עם כניסתו לבית הספר, הילד מצויד ב"ערכת מושגים" שרכש במהלך התפתחותו - מושגים יומיומיים, המאופיינים בהבנה לא מודעת ובשימוש ספונטאני. פיאז'ה (1976), מגדיר את תקופת בית הספר היסודי, כגיל האופרציות המוחשיות. התקופה מאופיינת ביכולת הילד לפתח מושגים מתמטיים מתוך הרהורים ותהיות אודות פעילות שלו בעצמים מוחשיים. לעומתו טוען ויגוצקי (קזולין ועילם, 2003; צלרמאיר וקזולין, 2004), כי ההתפתחות של המושגים המתמטיים המדעיים איננה מתרחשת מאליה, וגם לא מתוך העיסוק בעצמים המוחשיים בלבד, אלא במהלך קשרי הגומלין בין המושגים המדעיים המוצגים לילד בתיווך מבוגרים לבין המושגים היומיומיים של הילד, הקשורים לאותן התופעות. התפתחות המושגים הספונטאניים (היומיומיים) והלא ספונטאניים (המדעיים) קשורים זה בזה. להוראה תפקיד מכריע בהתפתחותם ובהתהוותם. מכאן שתהליך היווצרותם ותפקיד המורה מחייבים התייחסות כבר במהלך ההכשרה להוראה.
על הוראת המושגים המדעיים
לדעת ויגוצקי (קזולין ועילם, 2003; צלרמאיר וקזולין, 2004), רכישת המושגים המדעיים תלויה, מחד גיסא במושגים שהתפתחו במהלך הניסיון של הילד עצמו, ומאידך גיסא באינטראקטיביות בין מערכת המושגים הזו לבין מערכת המושגים התיאורטית שמוצגת לילד מבחוץ. במלים אחרות, המושגים המדעיים אינם נרכשים על-ידי שינון פשוט ואינם מוחדרים לזיכרון, אלא נוצרים ומעוצבים על ידי פעילות מחשבתית מאומצת של הלומד, וכתוצאה מהדיאלקטיקה בין שני הכיוונים: מעלה- מטה (מההגדרות התיאורטיות אל ההגדרות האמפיריות) ומטה-מעלה (מההגדרה האמפיריות אל ההגדרות התיאורטיות). הלמידה הפורמאלית שמתרחשת בבית הספר מכוונת לזמן את המעבר משליטה במושגים ספונטאניים - יום יומיים לשליטה במושגים אקדמיים-מדעיים (פלד-אלחנן, 2002).
לטענת קלאוזמייר (1985, אצל מרזנו 1998, תרגום 2002), קיימים מושגים מופשטים מאד שאינם נקלטים לאחר הוראה ישירה אלא רק לאחר פעילות מקדמת כמו השוואה למושגים דומים או הבאת דוגמאות ואי דוגמאות - דוגמאות נגדיות.
טול ווינר (, Tall& Vinner1981) טוענים, שתלמידים יוצרים לעצמם דימויים של מושגים, דימויים המורכבים מסך כל המבנים הקוגניטיביים, התמונות המנטאליות, התכונות והתהליכים הקשורים בתודעתו של הלומד למושג. דימוי המושג עלול לעמוד בסתירה להגדרתו המתמטית של המושג. במצב של קונפליקט בין האמת המתמטית-פורמאלית לבין התחושה האינטואיטיבית-ספונטאנית, התחושה האינטואיטיבית ידה על העליונה (פישביין, תירוש וברש, 1998). מצב זה מקשה על ההוראה-למידה של המושג.
מחקר זה יתאר התמודדות עם קשיים בבניית מושגים מדעיים בתחום המתמטיקה אצל סטודנטיות להוראה ואצל תלמידיהן בבית הספר היסודי ויתמקד בתפקיד המורה בתהליך.
מתודולוגיה
מחקר זה הוא מחקר איכותי- תיאורי.
איסוף הנתונים
נערך במהלך שנת תשס"ו וכולל תגובות מסטודנטיות, ממורות ומתלמידיהן בבית הספר היסודי. הנתונים נאספו בעזרת:
1. 20 שיחות בין מורה-סטודנטית לבין תלמידים, שהוקלטו ותומללו.
2. 20 עבודות סיום של סטודנטיות להוראה.
3. 20 ראיונות מתועדים, בין החוקרת לבין סטודנטיות ומורות למתמטיקה.
ניתוח הנתונים
הנתונים נותחו ופורשו על-ידי ניתוח תוכן של השיחות בהקשר למושג המילוני-היומיומי ולמושג המתמטי-המדעי "מספר עוקב".
המשתתפים
30 סטודנטיות להוראה ומורות מאמנות למתמטיקה בבית ספר יסודי ותגובות מ – 100 תלמידים בכיתות ג' – ו'.
אתיקה
מסגרת השותפות בין המכללה לבין בית הספר אפשרה לחוקרת לקבל אישור לאיסוף הנתונים והסכמה לשימוש בהם לצרכי המחקר.
ממצאים
המשתתפים נשאלו מהו העוקב למספר "רבע" והתבקשו להסביר את תשובתם. ניתוח תוכן של התגובות אפשר הבחנה בין הסברים הקשורים במושג היומיומי, הסברים שניתנו על-ידי תלמידים צעירים או כאלו המוגדרים חלשים, לבין הסברים, שנתנו על-ידי מרבית המשתתפים וקשורים בהגדרה המתמטית למושג הפורמאלי-מדעי.
בהתאם לכך, התגובות מוינו לשלוש קבוצות:
קבוצה ראשונה – תגובות המאופיינות על-ידי שימוש במושג אינטואיטיבי-יומיומי במשמעות: "המספר שאחריו" או "שבא מיד אחריו". שימוש במושג "עוקב" באופן ספונטאני נעדר מודעות ולכן גם נעדר יכולת הכללה והבחנה. בקבוצה זו היו בעיקר תלמידים מכיתות ג', ד', שטרם פגשו במושג המדעי "עוקב" במפגש הוראה עם מבוגר ומשתמשים במושג זה באופן ספונטאני ללא תחושת צורך בבדיקה נוספת של הדברים.
קבוצה שנייה – תגובות המאופיינות על ידי הבנה חלקית וראשונית של המושג המדעי-פורמאלי. התגובות אינן ספונטאניות, אלא שהשימוש במושג המדעי נמצא בראשית תהליך הבנייתו. לטיעון, כי לכל מספר (שלם) קיים מספר העוקב לו, התחושה האינטואיטיבית חזקה ולכן איננו חשים צורך להוכיח טענה זו בדרך פורמאלית ובטבעיות עושים מעבר (חיוץ - אקסטרפולציה) לכל קבוצת מספרים.
קבוצה שלישית – תגובות המעידות על הבנת המושג המדעי "עוקב" בהקשר לעולם המספרים הרציונאליים.
מההסבר שהמשתתפים נתנו לתשובות שלהם עולה שמרבית המשתתפים, פרחי הוראה, מורים ותלמידים, יודעים ש"עוקב הוא המספר ועוד אחד" גם אם לא ידייקו בהגדרה הפורמאלית ולא יאמרו "מספר שלם ועוד יחידה שלמה אחת". הם גם יודעים לומר שבין כל שני שברים יש אין סוף שברים ואף יודעים להסביר טענה זו. אך עדיין עשו אנלוגיה למערכת מספרים מוכרת יותר ואמרו, כי "העוקב לרבע הוא אחד ורבע", "שתי חמישיות", או " 0.26 ", מה שמראה על תפיסה מוגבלת ושגויה של המושג המתמטי "עוקב".
מסקנות
להוראה חשיבות רבה בהתמודדות עם אנאלוגיות, שלעיתים מקדמות ולעיתים מפריעות להתפתחות של המושגים המדעים. לתיווכו של המורה תפקיד מכריע במהלך קשרי גומלין בין מושגים מדעיים המוצגים לילד לבין המושגים היומיומיים של הילד, שנוצרים על בסיס הפעילות הספונטאנית של חשיבת הלומד.
תרומת מחקר זה היא בהצעת אסטרטגיות להתמודדות עם אנלוגיות שמעקבות את תהליך היווצרות מושגים מדעיים במתמטיקה וטיפוח אנלוגיות שתורמות להתפתחותם של המושגים המדעיים.
תהליכים אלו בתיווך מבוגר-מומחה חייבים להתחיל בפעילות עם סטודנטיות, כמי שעשויים להשפיע על אופן התהוותם של המושגים המתמטיים - המדעיים של הילדים בעתיד.
yyya
אני צריכה בבליוגרפיה של מאמר זה היכן ניתן למצוא אותה?