חינוך בהוראת המתמטיקה

אהרוני, ר'. (2015). חינוך בהוראת המתמטיקה. בתוך י' תדמור וע' פריימן (עורכים), חינוך – שאלות האדם (כרך ב) (עמ' 111-103). תל אביב: מכון מופ"ת.

פרופ' רון אהרוני הוא מתמטיקאי. בילה כעשר שנים בהוראת מתמטיקה ובהדרכת מורים בבתי ספר יסודיים

המחבר מאפיין את מהות הוראת המתמטיקה. הטענה היא, כי מתמטיקה מתארת את המציאות הפיסיקלית ולא עוסקת במציאות נפשית או רוחנית, הכפופה לעיסוק פילוסופי. ועם זאת הקשר שבין מתמטיקה לפילוסופיה מקורו בהשלכות שיש למתמטיקה על החיים עצמם לא רק מבחינה אינטלקטואלית אלא גם מבחינה נפשית. בכך, המתמטיקה נושאת בחובה כוח חינוכי בעל שלושה היבטים. ראשית, דרך החשיבה המתמטית, שעניינו ברירת העיקר מהטפל וחשיבה בדוגמאות קונקרטיות ובאורח לוגי, ניתנה ליישום בכל אספקט של החיים. שנית, המתמטיקה מחנכת לאהבת היופי. שלישית, המתמטיקה מספקת אמירות חשובות בנוגע לשאלה "מהו האדם".

בניגוד למדע המתבונן במציאות, המתמטיקה נעשית רק לאחר בניית המושגים ומבקשת לגלות את החוקיות בהבנתם. כך, למשל לאחר בניית המושג "מספר", אין עוד להסתכל במציאות כדי לחשב כמה הם 6:2. התוצאה נובעת מהחוקיות שהמספרים מצייתים לה. כך, לחשיבה המתמטית שתי תכונות. האחת, נדבכיות, שמשמעה שהמתמטיקה, יותר מתחומים אחרים, בנויה נדבך על נדבך. טיעון מתמטי הוא לרוב ארוך מאוד, ומסתמך על שלבים שקדמו לו וידע קודם. ייחודיותה של המתמטיקה הוא בחיבור היציב והקשיח שבין חלקים אלה של הטיעון ומכאן גם מחויבותו לדיוק, שהיא התכונה הנוספת של החשיבה המתמטית.

על-מנת לעמוד בדרישת המורכבות והדיוק של החשיבה המתמטית, נחוצה משמעת חשיבה חמורה. משמעת זו פירושה שיש דבר חשוב יותר מהחוקר או מהתלמיד ומרצונותיו. בכך היא גם מלמדת לקח חשוב, הנוגע למעמדו של האדם הפרטי והאדם בכלל בעולם. עניין נוסף העולה מדרישות החשיבה המתמטית נוגע לצורך בהשקעת עבודה רבה, שיש בצידה נשיאה בפירות ובהימצאות במקום אחר לגמרי מנקודת המוצא.

מתמטיקאי חושב בדוגמאות ודרך הפרטים מגיע לחשיבה כללית ולעקרון מופשט. לשם כך, חשוב למורים למתמטיקה להשתמש בדוגמאות ולהבין את חשיבותן. דרך הדוגמאות ניתן יהיה להגיע לתובנות עמוקות יותר. כלים נוספים להוראה מתמטית כוללים בדיקה של מקרים קיצוניים ומציאת המשותף למקרים פרטיים.

כיוון שבמתמטיקה כל אחד יכול לבצע את הניסוי החשיבתי בעצמו, המתמטיקה מלמדת אי-יראת כבוד מפני סמכות. זוהי תכונה שמחנך ירצה לטעת בחניכיו. פירושה של תכונה זו היא ספקנות, שמשמעה היא התייחסות לחיים בהומור, הבאה לידי ביטוי בכך שלא כל מה שנחשב חשוב הוא אכן חשוב, כשאת הבדיקה לחשיבות הדברים כל אדם יבצע באופן אישי. כך גם, ספקנות היא מחסום בפני היסחפות אחר רעיונות מסוכנים או ציות עיור. סכנה כזו היא פחות נפוצה בקרב מתמטיקאים.

תכונה נוספת של המתמטיקה היא שהיא יפה. יופי הוא הקריטריון העיקרי לנכונותה ולחשיבותה של המתמטיקה. בדומה לשירה, יש בה תוכן עמוק שלא ניתן להכרה בצורה מודעת. בשירה, תוכן זה מועבר בצורה סמויה ועקיפה, למשל באמצעות מטפורות. במתמטיקה, אף שהאמירות אינן עקיפות, מתגלה לנו סדר מופלא, עמוק ומורכב שאיננו יכולים לתפוס אותו במלואו. בדומה למוזיקה, אנו יכולים לתפוס את גילויו החיצוני של סדר או חוקיות מתמטית ולהתפעל מעומק המבנה שפיסה קטנה שלו נגלית לעינינו. כך, אנו פוגשים משהו שהוא מעבר לקיום שלנו ולהבנתנו. יופי זה מצוי בכל הרמות של המתמטיקה ואולי אף יותר בזו של המערכת היסודית. כדי להעביר את תחושת היופי יש ללמד מתמטיקה בצורה נכונה, דהיינו להראות את צורת החשיבה של מתמטיקאים.

בסוף המאה ה-19 ועד אמצעה מתמטיקאים שונים, בראשם הפילוסוף-מתימטיקאי גוטלוב פרגה, יצרו מהפכה בחשיבה האנושית שתמציתה היה להראות, שהחשיבה האנושית ניתנת לתיאור מתמטי ומכאן שהיא בראש וראשונה עניין מכני שיכול להיעשות בידי מכונה (Frege, 1879). ברטרנד ראסל קרא את עבודתו של פרגה, שלא זכתה עד אז לעניין רב אף שהייתה מהפכנית בטיבה, ויחד עם מורו וויטהד פרסם ספר "פרינציפיה מתמטיקה" ששכלל את תורתו של פרגה (Whitehead & Russel, 1910). ספר מורכב זה הביא מתמטיקאים אחרים, כמו קורט גדל ואלן טיורינג להגדיר מהו מתכון חשיבה לפתרון בעיות (אלגוריתם) וליישם אותו באופן קונקרטי באמצעות מה שמכונה "מכונת טיורינג". הדבר פרץ את הדרך להמצאת המחשב האלקטרוני.

ההשלכות של תובנות אלה על המתמטיקה לעניין הוראת המתמטיקה הן רבות. ראשית, יש ללמד צניעות אל מול הטבע והעולם הגשמי בניגוד לצניעות מול ישות מופשטת כמו אלוהים. לאלוהים ניתן לייחס רעיונות, אך אלה רעיונות שעלו במוחותיהם של בני האדם, ובדרך כלל התפתחו לאטם ועברו בירושה מדור לדור. כך אפשר להצדיק כל מעשה שהאדם בוחר בו, גם אם מעשים אלה נעשו ממניעיו שלו. צניעות בפני העולם עניינה בהבנה שהאדם דומה ליתר בעלי החיים בגופו ובהתנהגותו וגם שהחשיבה האנושית אינה דבר כה מיוחד. כמו כן, רעיונות, המופיעים במוחו של אדם, הם חלק מהעולם ועובדת יכולת החשיבה של האדם אינה הופכת אותו לכל-יכול. לאמונות מופשטות אין מעמד נעלה על שאר מעשי האדם.

לבסוף, הבנה טובה היא זו שאין צורך להכריז עליה. קורסים על יישום המתמטיקה ללימוד ערכים, על חשיבות היופי במתמטיקה ועל הספקנות במתמטיקה כפתח לדמוקרטיה מכריזים מה צריך להיות מוטמע בחשיבה. אולם, מורה טוב הוא זה שאין צורך להכריז בפניו מה צריך להיות אלא הוא זה שהפנים את כל אלה וקיבל על עצמו את השפעתה של המתמטיקה גם אם לא הכריזו עליה בקול רם.

ביבליוגרפיה

Frege, G. (1879). Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle a. S.: L. Nebert.
Whitehead, A.N., & Russell, B. (1910). Principia mathematica (vol. 3). Cambridge: Cambridge University Press.

הסיכום נכתב בידי ד"ר דניאל שפרלינג ממכון מופ"ת