זוגי ועוד זוגי שווה זוגי – כיצד מוכיחים?

להרצאה המלאה - ראו קובץ מצורף מימין

במאמר זה מוצגים ממצאי מחקר שבדקו את תפיסותיהם של תלמידי מכללות לחינוך בנושא מצומצם אחד מתוך התחום הרחב של מושג ההוכחה – נושא ההוכחה של טענה כוללת (או במלים אחרות, הוכחת טענה מטיפוס "לכל...").

הצגת הממצאים מאפשרת להשיב על שתי השאלות שהוצגו בתחילת פרק התוצאות בתקציר זה. בהקשר לשאלה הראשונה המתייחסת לדרכים באמצעותם סטודנטים להוראה מוכיחים משפטים מטיפוס "לכל...", ראינו כי מרביתם השתמשו בשתי דרכים: דרך אלגברית (נכונה או לקויה) ודוגמאות מספריות. הליקויים שהתגלו בהוכחות של הסטודנטים להוראה מעידים על גישה אינדוקטיבית להוכחות, על אנאלגבריות ועל כשלים לוגיים. הגישה האינדוקטיבית באה לידי ביטוי בנסיון להוכיח כי הטענות נכונות באמצעות הצגת דוגמא או מספר דוגמאות המקיימות את הטענה. השאלה השניה מתייחסת לקשר בין מגמת ההתמחות של הסטודנטים להוראה (בית ספר יסודי לעומת חטיבת ביניים) לבין דרכי ההוכחה שלהם. כפי שניתן לראות מטבלה 1 קיימים הבדלים ניכרים בין הדרכים בהן הנבדקים משתי קבוצות ההתמחות הוכיחו באופן נכון את הטענה "סכום שני מספרים זוגיים הוא מספר זוגי".

בפתיחה לתקציר זה התייחסנו לכך שקהילת החינוך המתמטי מדגישה את חשיבות פיתוח יכולות ההנמקה וההוכחה של תלמידים החל מגיל צעיר. המורים הם המופקדים, מתוקף תפקידם, על משימה זו. הכשרת המורים צריכה, איפוא, להתכוון למטרה מרכזית זו ולשנות, בהתאם, את ההדגשים בתוכניות ההכשרה במוסדות להכשרת מורים, כשהמטרה היא לסייע למורים לעתיד בפיתוח הידע הנדרש לצורך זה. שינוי מעין זה צריך להתייחס למאפייני הידע של הסטודנטים להוראה לגבי הוכחות מתמטיות, כלומר, להיבטים עליהם אפשר להסתמך ולליקויים אותם יש לתקן. במהלך ההרצאה נציג דוגמאות נוספות שיתרמו למאמץ בכיוון זה.