האם זו הוכחה? – התייחסויות מורים בבתי ספר יסודיים להנמקות מתמטיות

למאמר המלא - ראו קובץ מצ"ב מצד ימין

למורים, שהם המייצגים את הקהילייה המתמטית בכיתתם, תפקיד מרכזי לביסוס הנורמות הסוציו-מתמטיות בכיתה ובכללן הנורמות המתייחסות להעלאת השערות, טענות, הנמקות והוכחות (Yackel and Cobb,1996). לכן, חשוב שלמורים יהיה ידע רחב לגבי דרכים שונות לתיקוף ולהפרכה של טענות מתמטיות. במאמר זה הראנו כי מספר רב של מורים קיבל דוגמאות תומכות כהוכחה לטענה מתמטית תקפה מטיפוס "לכל". יתרה מכך, הראנו כי יש מורים שקיבלו דוגמאות תומכות כהוכחה לטענה הנתונה למרות שהם עצמם הציגו נימוקים תקפים מתמטית כאשר התבקשו להוכיח את הטענה.

לגבי המורים שקבעו נכון, ודחו נימוק על ידי דוגמאות תומכות כהוכחה לטענת "לכל", יש לבחון את התייחסותם לשימוש בדוגמאות מספריות לתיקוף או הפרכה של טענות, שבהן דרך זו תקפה מתמטית (למשל, שימוש בדוגמא תומכת להוכחת טענה מטיפוס "קיים" או שימוש בדוגמא נגדית להפרכת טענה מטיפוס "לכל"). כלומר, ממצאים אלו מצביעים על כך שיש להתייחס בצורה רחבה בתוכניות להתפתחות מקצועית של מורים לידע  מתמטי לגבי סוגים שונים של טענות ולאופנים בהם בוחנים את התקפות המתמטית שלהן.

הוראת הנמקות והוכחות מתמטיות בבתי ספר יסודיים היא דרישה מורכבת מאוד. המורה בבית ספר היסודי נדרש להתייחס להשערות, הכללות ולטענות מתמטיות שמעלים התלמידים ולבחון את נכונותן המתמטית. את הטענה שהוצגה במאמר זה ניתן להוכיח על ידי שימוש בכלים אלגבריים בסיסיים. לכן, אלגברה יכולה לשמש את המורים בבית הספר היסודי ככלי חשוב כדי לקבוע את תקפותן של טענות מתורת המספרים ושל טענות אחרות שיכולות לעלות על ידי התלמידים בכיתתם. תוצאות המחקר שלנו הראו, שכמעט כל המורים ראו בנימוק האלגברי (הנכון) שהוצג להם הוכחה מתמטית לטענה, וחלקם אף הדגיש את מרכיב הכלליות שבהוכחה זו. כמו כן, הממצאים מראים כי חלק מהמורים אמנם קבעו כי זו הוכחה מתמטית תקפה אך חשו צורך לתקף אותה תוך מעבר להסברים מילוליים. לפיכך,  נראה הכרחי שתוכניות להתפתחות מקצועית של מורים למתמטיקה ינסו להרחיב את הידע האלגברי של המורים כדי שמורים יוכלו להשתמש בידע זה לקביעת תקפותן של טענות מתמטיות שתלמידיהם מעלים. בנוסף לכך נדגיש כי אחוז המורים שהציגו הוכחה אלגברית נכונה לטענה זו היה נמוך משמעותית מאחוז המורים שקיבלו הנמקה אלגברית נכונה כהוכחה לטענה תקפה מטיפוס "לכל". לכן, חשוב לבדוק: (1) האם יש קשר בין הידע האלגברי של המורים לבין מידת קבלתם את הסוגים השונים של ההנמקות, (2) האם קיים פער בין היכולת של מורים  להשתמש בכלים אלגבריים לבניית הוכחה לבין היכולת לבחון את תקפותה של הנמקה אלגברית נתונה (3)  באיזו מידה מורים מתייחסים לסממנים חיצוניים של ההוכחה וקובעים על פיהם האם ההנמקה היא הוכחה מתמטית, וזאת ללא ההתייחסות לתוכן ההנמקה - בהקשר זה מעניין לבדוק האם ממצאי מחקרים שהתייחסו לסוגייה זו אשר נערכו לגבי סטודנטים להוראה (Goetting, 1995; Martin & Simon, 1989) יהיו דומים לאלה אשר יתקבלו לגבי מורים בפועל .

אנו סבורים כי יש חשיבות לכך שלמורים בבית הספר היסודי תהיה היכולת להפיק הוכחות לא פורמליות (הנמקות מילוליות) התואמות את מבנה הדעת המתמטי ומתאימות לתלמידים בכיתות אלו. במאמר זה הצגנו את התייחסות המורים להנמקה מסוג זה ("ההוכחה של יעל"). הממצאים הראו כי כמחצית מהמורים התייחסו להיבטים מתמטיים שאינם רלוונטים להנמקה שהוצגה להם (התייחסות לנימוק כהצגת דוגמאות תומכות, אי שימוש בכלים אלגברים) בהסבירם את החלטתם לגבי קבלה או אי קבלת הנימוק כהוכחה. חשוב גם לבדוק כיצד תלמידים מתייחסים להנמקות אלה: האם הם מתייחסים  לנימוקים אלו כאל הוכחה מתמטית? כיצד הם מסבירים את החלטותיהם? סוגיות אלה יחקרו בהמשך.