קורס במכללת סמינר הקיבוצים: פתרון בעיות (אלגוריתמיות) בעזרת מחשב

מקור וקרדיט : הכנס הארצי השנתי להכשרת מורים למתמטיקה בבית הספר היסודי , 24 לפברואר 2004 . הרצאה של צוות מכללת סמינר הקיבוצים .

לקורס השנתי שני נושאים עיקריים:

סמסטר א': מתמטיקה אלגוריתמית בדידה.
סמסטר ב': פתרון בעיות אלגוריתמיות בעזרת מחשב.

סמסטר א' מהווה תנאי קדם לסמסטר ב'.

בכל מהלך הקורס עוסקים בצורה פעילה בפתרון בעיות בעזרת מחשב. הבעיות בסמסטר ב' מורכבות יותר, וכוללות פרקים ממתמטיקה נומרית. הבעיות והנושאים נבחרו מתחום המתמטיקה הרלבנטי לתלמידי המסלול.

דרישות קדם: קורסי מתמטיקה ומחשבים הנלמדים בהתמחות.

סמסטר א': מתמטיקה אלגוריתמית בדידה

תקציר:  במהלך סמסטר זה יכיר הלומד את מושג האלגוריתם, וילמד לכתוב אלגוריתמים ליצירת סדרות אינסופיות וסופיות, בעיקר על פי נוסחאות נסיגה, על פי האיבר הכללי של סדרה נתונה ועל פי סדרת ( או סדרות) הפרשים. התלמיד ידע לעקוב אחר ביצוע אלגוריתם נתון (כלומר ידע מה יתקבל כתוצאה מביצוע אלגוריתם נתון). ידע כיצד ניתן לממש את האלגוריתמים בעזרת מחשב ( הגיליון האלקטרוני אקסל ), וידע כיצד להתייחס לתוצאות המתקבלות.

נושאי סמסטר א' מהווים תשתית לנושאי סמסטר ב'.

סמסטר ב': פתרון בעיות אלגוריתמיות בעזרת מחשב

תקציר: בהינתן בעיה, התלמיד ידע לכתוב אלגוריתם (בד"כ יותר מאלגוריתם אחד) שיוביל לפתרונה, ידע לתרגם את האלגוריתם לשפת מחשב, למצוא את פתרונה ולבדוק טיב הפתרון. פתרון הבעיות נעשה בצורות שונות ( פתרון רקורסיבי, פתרון קומבינטורי, פתרון בעזרת האיבר הכללי וכו'). חלק מהבעיות לקוחות מתוך פרקים ממתמטיקה נומרית, כגון: מציאת שורש ריבועי ושורש שלישי של מספר, קירובים למספר פאי, וזאת במטרה להביא להעשרת תמונת העולם המתמטי של הלומדים בפרקים ממתמטיקה שימושית בת-זמננו תוך שילוב המחשב.

פתרון בעיות (אלגוריתמיות) בעזרת מחשב - סילבוס

 מטרות הקורס

* פיתוח חשיבה אלגוריתמית במשולב עם הרצת תוכניות-מחשב שהלומדים בונים בעצמם (בניגוד לשימוש  בתוכנות מוכנות), בד בבד עם טיפוח חשיבה אינטואיטיבית באמצעות התנסות חישובית.         

* עידוד פיתוח חשיבה מקורית, יצירתיות וכישורים של פתרון בעיות בגישת חקר.                                 

* העמקה בתחום התובנה המספרית של הלומדים.                                                   

* שילוב המחשב בשיעורי המתמטיקה.
* למידת מתמטיקה בצורה פעילה במעבדה מתמטית.
* העשרת תמונת העולם המתמטית של הלומד ע"י היכרות עם פרקים ממתמטיקה שימושית בת זמננו.
* היכרות עם בעיות מתמטיות הדורשות פתרון נומרי מקורב.

הנושאים

סמסטר א': מתמטיקה אלגוריתמית בדידה:
- מושג האלגוריתם. אלגוריתמים ותפקידם במתמטיקה, בהוראת המתמטיקה ובתהליך החשיבה.
- כתיבת אלגוריתם ליצירת סדרות אינסופיות וסופיות, בעיקר על פי נוסחאות נסיגה, על פי האיבר הכללי של

  סדרה נתונה ועל פי סדרת ( או סדרות) הפרשים.  

- מעקב אחר ביצוע אלגוריתם נתון.

- מימוש האלגוריתם בעזרת מחשב (הגליון האלקטרוני) לצורך מציאת הפתרון הלכה למעשה.
- חקירת הפתרון (התוצאה הנומרית) ועמידה על טיבו.

הבעיות והאלגוריתמים נבחרו מתחום המתמטיקה הרלבנטי לתלמידי המסלול.  בפרקי הלימוד השונים נעסוק בחקר תכונות מספרים ובפעולות בהם בגישה ובפעילויות משולבות מחשב שיביאו את הלומדים לגילוי, להעלאת השערות, למציאת חוקיות ולניסוחה,  לתיאור הכללות ולהצדקתן, לכתיבת אלגוריתמים, ולפתרון בעיות מגוונות.

סמסטר ב': פתרון בעיות אלגוריתמיות בעזרת מחשב.

- בהינתן בעיות שונות מתחומים מתמטיים מגוונים, הצגת אלגוריתמים שונים המובילים לפתרונן. הצגת פתרון קומבינטורי של בעיות,  פתרון רקורסיבי, פתרון בעזרת האיבר הכללי וכו'

- תרגום האלגוריתמים השונים לשפת הגיליון, "הרצת" האלגוריתמים ובדיקת הפתרון המתקבל.

חלק מהבעיות מפגישות את הלומדים עם נושאים ופרקים ממתמטיקה נומרית, כגון: צורות לכתיבת מספרים במחשב, ספרות משמעותיות, אי יציבות נומרית, בעיות דיוק, יעילות חישובית, מציאת שורש ריבועי ושורש שלישי של מספר, קירובים   למספר פאי (מימי ארכימדס ועד לתקופה המודרנית). הלימוד נעשה תוך הצגת שיטות נומריות שונות, שכל אחת מהן חושפת פן אחר של המתמטיקה.

   דרכי הוראה
הוראה פעילה בעזרת מחשבים.

קהל יעד
תלמידי שנה ד' בהתמחות מתמטיקה לביה"ס היסודי.

חובות התלמיד
- נוכחות בשיעורים.
- הכנת תרגילים ועבודות והרצת תוכניות-מחשב במהלך השנה.
- בחינה ו/או עבודת-סיכום בסוף כל סמסטר.
- קריאת ספרות.
 
הערכת התלמיד
מבחן 80%   תרגילים והשתתפות 20% .

ביבליוגרפיה

*האוניברסיטה הפתוחה. חישוב נומרי. (בעיקר יחידות 2,1  ו- 7),  1985. (הנושאים המתאימים)

*האוניברסיטה הפתוחה. מבוא לתכנות ולהכרת המחשב. יחידה 1, 1978.  (הפרקים המתאימים).               
*הראל, דוד. פרקי יסוד במדעי המחשב. ספרית אוניברסיטה משודרת, קצין חינוך ראשי, גלי צה"ל, בחסות אוניברסיטת ת"א, משרד הבטחון - ההוצאה לאור, 1986.
*הראל, דוד. אלגוריתמיקה - יסודות מדעי המחשב. האוניברסיטה הפתוחה. 1991.
*משרד החינוך והתרבות. "מחר 98". דו"ח הועדה העליונה לחינוך מדעי וטכנולוגיה. דו"ח ועדת הררי.

*משרד החינוך והתרבות. "היערכות תלת-שנתית למיחשוב מערכת החינוך בישראל". האגף למדע ולטכנולוגיה - גף מחשבים בחינוך. 1992

*משרד החינוך והתרבות. "תכנית 2000, תכנית לימודים במתמטיקה לבית הספר היסודי הממלכתי והממלכתי דתי." תל, משרד החינוך, האגף לתכנון ולפיתוח תכנית לימודים. 2001.

*פויה, ג.כיצד פותרין. הוצאת אוצר המורה, תשכ"ב.
*צבס, גדעון., שלמה, ברויאר. צעדים ראשונים במתמטיקה נומרית. דקל, פרסומים אקדמאיים, 1977.
*צבס, ג., ברויאר, ש. מתמטיקה משולבת מחשב במעבדה נומרית. אוניברסיטת ת"א, 1991. הוצאת שקד.
*צבס, ג., הופמן, ר. מבוא לאנליזה נומרית בלימודי מדעי המחשב בחטיבה העליונה, המרכז לחינוך מדעי וטכנולוגי, ביה"ס לחינוך, אוניברסיטת ת"א, 1998.

*ספרי לימוד במתמטיקה לביה"ס היסודי, חטיבת הביניים והחטיבה העליונה בנושאים המתאימים.
*סדרת מאמרים של צבס, ברויאר, גלעזר על הוראת נושאים "במעבדה למתמטיקה" שהתפרסמו החל מ1983-. ב: INT. J. MATH. EDU. SCI. TEACH.

*מאמרים (בנושאים המתאימים) מתוך על"ה (עלון מורה המת' בחטיבה העליונה), המחלקה
להוראת המדעים, האוניברסיטה העברית, י-ם.

*מאמרים (בנושאים המתאימים) מתוך אלף אפס, מכללת ירושלים, גף להכשרת עובדי הוראה, משרד החינוך והתרבות.

 *Beckman, P. A History of ד . The Golen Press, 1971.
*Breuer, S. & Zwas, G. Numerical Mathematics, A Laboratory Approach, Combridge   University Press, 1993.

*Engel, A. (1984), Elementary Mathematics From An Algorithmic Standpoint. Knep, University of Keele, Staffs, U.K.

*Engel ,A. (1993), Exploring Mathematics With Your Computer. The Mathematical Association of America.

*Garland, T.H. (1987). Fascinating Fibomaccis Mystery and magic in Numbers.Dale Seymour publications.

*Maurer S. B. (1985), "The Algoritmic Way of Life is Best". College Math. J. 2-18.

*Maurer S.B. and Ralston A. (1991), Discrete Algorithmic Mathematics, Addison-Wesley Publishing Company.

*NCTM (1989), Professional Standards for Teaching Mathematics. Reston, V.A.: NCTM, 1989/91

*NCTM (1989), Curriculum and Evaluation Standarts for School Mathematics Reston, V.A.: NCTM.

*NCTM (1991), Discrete Mathematics Across the Curriculum K-12,1991 Yearbook.

*NCTM (1998). The Teaching and Learning of Algorithms in School Mathematics, 1998 yearbook.

*Runion, G.E. (1990). The Golden Section. Dale Seymour publications.

*Scheid, F. Numerical Analysis. Schaum's Outline Series, McGraw-Hill, 1968.

*Zwas, G., S. Breuer. Computational Mathematics. University Pub. Proj., 1975