איפיוני למידה וחשיבה של תלמידים "חלשים" במתמטיקה

מקור: מכון וייצמן, המחלקה להוראת המדעים

בפתח הדו"ח סקרנו את הספרות העדכנית הקיימת לגבי אוכלוסיות חלשות במתמטיקה. הצבענו על כיווני מחקר חדשים שצמחו בשנים האחרונות, אשר מביאים בחשבון בין היתר מרכיבים חברתיים, מרכיבים קוגניטיביים ומרכיבים אַפקטיביים במעגל ההוראה והלמידה של תלמידים חלשים. התייחסנו בהרחבה לעבודתו של חזן (Chazan, 2000), מורה-חוקר הקורא להכרה בקיומן של נקודות חוזק אצל תלמידים שהמערכת סיווגה כחלשים, ודוגל בשינוי גישת הוראת האלגברה באופן שיעניק הזדמנות לתלמידים אלה להשתמש ביכולותיהם ולהתקדם. במסגרת הסקירה הודגש גם ההיבט של אמונות מורים, הן לגבי תלמידים חלשים והן לגבי אופייה של המתמטיקה הנלמדת בבית הספר, תוך בחינת  ההשלכות האפשריות שישנן לאמונות מסוימות והצורך לשנות באופן מעשי את דרכי ההוראה הנגזרות מהן.

חלקו העיקרי של הדו"ח הוקדש לממצאים:

לאורך כל פרקי הממצאים בלטה התופעה של שימוש בשיח מתמטי לא פורמלי אצל תלמידים חלשים. ב"שיח לא פורמלי" כוונתנו הן לאסטרטגיות שנקטו בהן תלמידים והן לידע עליו נשענו במסגרת התמודדות עם מטלות מתמטיות. ברוב המקרים שהצגנו, בין אם תוך כדי ראיון ובין אם במהלך שיעור, הסתמכו התלמידים מעט מאד על רוטינות נלמדות והרבה יותר מכך על חישובים מנטליים, ניסוי וטעייה והפעלת שכל ישר. במקרה הצורך גייסו לעזרתם ידע חוץ-מתמטי שהתקשר אצלם למטלות שלפניהם. ראינו, כי כאשר היה צורך לעבור לכתיבה פורמלית התגלו קשיים מסוגים שונים, כמו הקושי להגיע באמצעות שפה כתובה להבעת רעיונות שהוסברו היטב בעל פה (המקרה של אורי, למשל);  הקושי לאמץ מערכת סימבולית ולנצל את יתרונותיה על פני ניחוש (המקרה של דביר); הקושי להבין ולהפעיל את כללי השפה הסימבולית (למשל הפנמת הרעיון ש-  4x  פירושו 4 כפול x, שהתקשו בו דביר ואחרים); הקושי "לתרגם" שברים לכתיבה עשרונית (דן והגר). 

לעומת קשיים אלה, ההפעלה של שיקולים לא פורמליים ושיטות שהומצאו אד-הוק לצורך המשימות, היתה לעתים קרובות מוצלחת. להבחנה זו יש על פי השקפתנו השלכות חשובות על עיצוב ההוראה הנדרש.  כפי שהזכרנו בסקירת הספרות, רווחת אצל תלמידים ומורים העמדה כי אם לא נעשה שימוש בפרוצדורות פורמליות הרי ש"זאת לא מתמטיקה" (Ben-Yehuda et al., In press). מכיוון שדווקא השיח המתמטי הלא פורמלי עשוי לקדם תלמידים חלשים,  יש צורך להכיר בחשיבותו של שיח זה, לתת לו לגיטימציה ולרתום אותו לצורך ניצול היכולות של תלמידים אלו. במהלך הדו"ח הזכרנו את הרציונל העומד מאחורי חומרי הלמידה שפותחו בקבוצת המתמטיקה. באופן כללי מסתמכים חומרים אלה יותר על שיקולי שכל ישר, אומדנים, המחשות באמצעות אובייקטים, גישות אינטואיטיביות ובקרה, ופחות על נוסחאות וטכניקות. המורות שאת שיעוריהן תיעדנו בדו"ח, פעלו אף הן ברוח זו. יודגש כי אין הכוונה לזנוח את ההיבטים הפורמליים של המתמטיקה ולעסוק רק באותם היבטים של המתמטיקה שאינם סימבוליים. אולם, מצד שני, אנו סבורים כי נזק מתרחש כאשר "מקדשים" את השיח הפורמלי וממהרים להתרכז בו עד כי נוצר קרע בין שיח זה ובין ההגיון האינטואיטיבי של התלמידים. תהליך הלמידה של מושגים מתמטיים, כפי שאנו רואים אותו, צריך להיות בנוי כמעבר שיש בו רצף והמשכיות הגיונית בין הידע הבלתי פורמלי, המתעדן ומתעשר בדרך להתגבשותו כידע פורמלי יותר. הדגש צריך להיות מושם על מציאת דרכים לסייע לתלמידים להבין ולהביע רעיונות מתמטיים באופנים שונים, כך שלאורך הלימוד יישמר הקשר למשמעות המושגים הנלמדים.

מה דעתך?

    רוני ואברהם שלום.בראשית הדברים אני רוצה להודות ליעל שבתשובה לתגובתי על מאמרה היא הפנתה אותי למאמר זה.כדיסלקט אני מבין היטב את המסרים שהעברתם במאמר זה. חשוב להזכיר שלפראדיי, אחד מגדולי הפיסקאיים בעת המודרנית, לא היה מושג במתמטיקה פורמאלית, בודאי כשהתחיל את דרכו, והיה צורך במקסוול כדי לתרגם את הרעיונות החשובים שלו לנוסחאות מתמטיות פורמאליות.הבעיה המרכזית של מורים למתמטיקה שהם חיים באשליה שהייתה רווחת בקרב פילוסופים רציונאליסטיים (שפינוזה ואחרים) ופוזיטיביסטיים (הוסרל ואחרים) לפיה מתמטיקה משקפת את המציאות "האמיתית". הם לא יכלו לקרוא את ראסל, שבא אחריהם.המתמטיקה הפורמאלית מסרסת את החשיבה המתמטית המורכבת בכך שהסמלים המייצגים לעולם יוצרים פער לא ניתן לגישור בין המציאות המורכבת והדינאמית לבין הייצוג הפורמאלי שלה. תלמידים "חלשים" (פראדיי היה חלש? גם איינשטיין לא היה מתמטיקאי מהשורה הראשונה, ואם היה ייתכן שלא היה מפתח את תורת היחסות – במיוחד המורחבת) מתקשים בתהליך הפורמאלי בגלל הקושי בתחום הזיכרון הלוגי-פורמאלי – הצורך לזכור למה כל סמל שייך – ולכן הם חייבים להיות קשורים כל הזמן לזיכרון האינטואיטיבי הדינאמי והמורכב, קשר שהוא חיוני ממדרגה ראשונה לפיתוח היכולת היצירתית.לכן לא מעט מהם מצליחים במה שנקרא "חוכמת חיים" בעולם הראלי, ונכשלים בלמידה פורמאלית.הבעיה המרכזית היא שמורים למתמטיקה הופכים לטכנאים של סמלים, והם לא מבינים את החשיבה המתמטית שעומדת מאחורי הסמלים.כך למשל שאלתי מורים שמלמדים 5 יחידות מתמטיקה מדוע לדעתם ניוטן ולייבניץ יצרו הפרדה בין מתמטיקה דיפרנציאלית לאינטגראלית. לא קיבלתי תשובה – הם אפילו לא העלו בדעתם שזו שאלה מתמטית חשובה. הם יודעים לעשות את העבודה הטכנית של פתרון משוואות דיפרנציאליות ואינטגראליות בצורה מעולה. אני לא מסוגל, כיוון שכדיסלקטי לא למדתי בתיכון ובחינת הבגרות שלי היא ב-3 יחידות בלבד, שאותה עשיתי אחרי השרות הצבאי כמו את שאר המבחנים – המורים החליטו שאני לא מתאים ללימודים.האופן שבו לומדים בתיכון, לא רק במטמטיקה, היא למידה טכנית, שמסרסת את היצירתיות הטבעית של בני האדם (ממצאים מחקריים מראים שהיכולת היצירתית של ילדים גבוהה משל מבוגרים – מערכת החינוך סירסה את היכולת היצירתית).כמי שמקדמים את לימוד המתמטיקה חשוב שתבהירו למורי המתמטיקה שהחלק הפורמאלי הוא רק האמצעי הטכני של הרעיונות המתמטיים, ורעיונות מתמטיים, כפי שציין זאת פרופ' ענר שלו, מחייבת חשיבה יצירתית ודמיון פורץ פרדיגמות. אם זה לא יישתנה נמשיך לקבל תופעות נדירות של פורצי החישבה המתמטית המוכרת (ולא רק במתמטיקה ומדע שאותם מקדשים ברמה הטכנית), שמסוגלים לחרוג מהפרדיגמות הקיימות למרות מערכת ההשכלה לכל רמותיה, כולל המכללות והאוניברסיטאות.כהדיוט בתחום המתמטיקה אשמח לקבל את תגובתכם.בברכה,יצחק עזוז

    פורסמה ב 19/11/2011 ע״י יצחק עזוז

    שלום יצחק,כרגיל מענין לקרוא מה שאתה כותב.מה אמר ראשל על מתמתיקה? ולמה יש הפרדה בין חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי? מסקרן.יעל

    פורסמה ב 19/11/2011 ע״י יעל עדיני

    שלום יעל,אני מציע כאן התייחסות שנראית ארוכה, אך היא על קצה המזלג. התייחסות רחבה ועמוקה יותר לנושאים אלו ואחרים ישנה בספרי "מחריבייך ומהרסייך מאוהבייך יצאו, על התמוססות היהודיות במערביות (מפרדיגמה לסברה)", שעומד לצאת בקרוב בהוצאת כליל של מכון מופ"ת.ראסל, כמו פרגה במקביל אליו וללא ידיעה על כך שהם עובדים על אותו דבר, ניסו להציל את הלוגיקה מבעיות יסוד שהתגלו בה. הבעיה המרכזית הייתה ההנחה הדוגמאטית של אריסטו שהמושגים (אבני היסוד של השפה) הם אידיאות המייצגות משמעות מונולית מובחנת היטב ומוחלטת. כמו גם ההנחה הדוגמאטית שהן מייצגות באופן פרללי את המציאות האמיתית. שתי ההנחות הללו התבררו כמוטעות, דבר שערער את מעמדה של הלוגיקה כשיטה האולטימטיבית להגיע ל"האמת". הם ניסו להציל את הלוגיקה באמצעות הניסיון לוותר על המילים (שהן בעלות תוכן, ולכן הן סינטטיות ואינן יכולות להבטיח קוהרנטיות – ליניאריות וחפות מסתירות – ומכאן היכולת לתת להן משמעויות סותרות. ניסיון שקאנט ניסה להתמודד איתו באמצעות הוכחת קיומם של משפטים סינטטיים אפריוריים ונכשל, כשגם הבאים אחריו נכשלו בכך). בשלב מאוחר יותר הבין פרגה שהחלפת מילים בסמלים לא פותרת את הבעיה כיוון שהסמלים אמורים ל"ייצג" תכנים. קרי, משמעות ברת תוכן במציאות המורכבת. למרות זאת הפילוסופיה האנליטית המשיכה לפתח ולהישען על הלוגיקה הצורנית, בניסיונה להציל את "האמת" ונכשלה (ראו למשל ספרו של יצחק נבו, אזמל שקהה, 2009). ראסל ניסה להשעין את הלוגיקה על המתמטיקה, אך בתורת הקבוצות שהוא פיתח לשם כך הוא חשף את מה שכונה "פרדוקס ראסל". בנוסף לכך הוא הראה שאין אפשרות להוכיח פרלליות בין מה שמתרחש במוחו של האדם לבין המציאות. קרי, בין "ההסתכלות" הלוגית על המציאות לבין המציאות כלוגית. הוכחה שנדרשו אליה מאז דויד יום שהראה שלמעשה האדם כופה את אופן הסתכלותו על המציאות, וקאנט ניסה להוכיח שהסתכלות זו היא לוגית, הנגזרת מהתבונה הטהורה, שאמורה להבטיח את הלוגיות של העולם – תהליך הוכחה שלא ניתן לפרט כאן אך יש לציין שחוקר קאנט מהחשובים ביותר פרופ' ירמיהו יובל הגדיר את קאנט – בגלל הכשלים בתהליך ההוכחה שלו – כיותר דוגמאטי מדקרט, ולא במקרה. יש לזכור ששניהם מבטאים את רעיון המודרניות (כביקורת לחשיבה הקלסית) שאין לקבל שום הנחה באופן דוגמאטי. מכאן ששניהם נכשלו בדרישה הבסיסית שהם הציבו לחשיבה המודרנית (וגם זה לא מקרי – כך למשל הקבוע הקוסמולוגי של איינשטיין התברר כהנחה דוגמאטית, וגם ההנחה בדבר קיומם של חומר אפל ואנרגיה אפלה על ידי הרוב המכריע של הפיסיקאים המחזיקים "במודל הסטנדרטי" נחשבת להנחה דוגמאטית שניתן לוותר עליה – ראו למשל את התיאוריה של פרופ' מרדכי מלגרום).במילים פשוטות, פרגה וראסל לא הצליחו להוכיח שהלוגיקה "אובייקטיבית" לא מצד עצמה ולא ביחס למציאות כמציאות לוגית (מחקרי מוח מראים שהמוח האנושי לא מסוגל להיות "אובייקטיבי" ברמת התיאור – הוא עושה השלמות על סמך נסיון קודם. אין אפשרות במסגרת זו להיכנס לסוגיה של מגבלות של "כלים מדעיים"). מי שסתם את הגולל על אפשרות זו היה הלוגיקן גדל במשפט אי השלמות שהוא הציע ב-1930 (15,000 עמודים) לפיו לא רק שלא ניתן להוכיח שהמציאות (מערכות מורכבות) חפה מסתירות, ההיפך הוא הנכון: בכל מערכת מורכבת כל מה שניתן להוכחה ניתן בהכרח להוכיח את ההיפך, וכל מה שניתן להוכיח שהוא חף מסתירה לא ניתן להוכחה אמפירית (במציאות המורכבת). רק במערכות בינאריות, כגון מחשבים ומכשירים טכנולוגית הבנויים מראש על עקרון הבינאריות ניתן להגיע לשלמות – הוכחה שהיא חפה מסתירות. מי שאישש את משפט גדל היה פול כהן שהראה שניתן ליצור שתי מתמאטיקות (עדיין קיימת ההנחה הדוגמאטית שיש מתמטיקה אחת – על ריבוי מתמאטיקות שלא יודעות לדבר האחת עם השנייה ראו למשל ספרו של יורם קירש – היקום על-פי הפיסקה המודרנית, 2006), שכל אחת מהן עומדת בכל הכללים של מתמטיקה. מה שניתן להוכיח באחת מהן ניתן להוכיח את ההיפך במתמטיקה השנייה. תנאי נוסף, וקודם לחפות מסתירות של הלוגיקה, היא הליניאריות. תורת הרצף, שמנסה להתמודד עם אחת מהשאלות שהילברט הציג, כשאלות המתמטיות שצריך לתת להן תשובה כדי לבסס את מעמדה של המתמטיקה, היא שאלת הרצף שתפקידה להוכיח שאין "קפיצות" במתמטיקה. עד היום לא הצליחו להוכיח רציפות. אם כך במתמטיקה קל וחומר בלוגיקה ובודאי לגבי המציאות. מצד שני גם לא ניתן להוכיח את האפשרות לאנליטיות מוחלטת, כדרישה הבסיסית של חיפוש "האמת" (ראו למשל, תמר סוברן, שדות סמנטיים, 2006, וספרם של דלזל וגואטרי, מהי פילוסופיה? 2004), כפי שכבר סוקרטס דרש.העובדה שהתרבות המערבית קידשה את הלוגיקה אפשרה את התפתחות המדע הפוזיטיביסטי ואת הטכנולוגיות המדהימות, אך בתמורה היא משעבדת את האדם למגמה זו, שהיא הרסנית לתרבות האנושית. היא נענית לנטיית ההישרדות של המוח שלנו, שחותר לתשובה חד-משמעית ומהירה ככל האפשר. ראשיתה של פעולה חושית במוחנו הוא בחלק הימני של המוח (אצל ימניים והפוך אצל שמאליים), שמתמחה בתחום הרגשי. אם מדובר במקרה חירום המוח הרגשי, ובמיוחד גזע המוח ואימגדלה יצרו את התגובה ללא שהיות. רק לאחר מכן תעבור האינפורמציה למוח השמאלי לעיבוד לוגי של האינפורמציה – הליך רציונאלי או רציונאיליזציה. במידה ולא מדובר במצב חירום, מתחיל תהליך (הכל בחלקיקי שניות) של תנועת אינפורמציה בין שני חלקי המוח (שלב הלמידה המשמעותית ביותר). ככל שהאינפורמציה מתבהרת ומתחדד התנועה בין שני חלקי המוח הולכת ומצטמצמת ונשארת בצידו השמאלי, במיוחד בקורטקס הקדמי. בכל מקרה קליטת האינפורמציה היא הקשרית, והיא מתאפשרת כיוון שהמוח יוצר "אטרקטים". בראשית התהליך של יצירת אטראקטים יש מעורבות ענפה של הצדדים הרגשיים והלוגיים במשולב, ולא במקרה – בניגוד לעידוד של התרבות המערבית לזרז את התהליכים הלוגיים ולנטרל את התהליכים הרגשיים כמפריעים לחשיבה הלוגית-מדעית – המוח, בתהליך הטבעי שלו, נדרש למכלול הפעילויות הרגשיות והלוגיות בהתייחסותו למציאות. לא ניתן להתייחס באופן משמעותי להתנהגות אנושית, וגם לסביבה הפיסית אם מנסים להתייחס אליה, לכאורה, רק "במשקפיים לוגיות" – זה מוביל לאוטיזם חברתי שביטויו בכל תחומי החיים. כך למשל, כלכלנים שיש להם אשליה שהם עוסקים ב"מדע" רציונאלי הם שמביאים את הכלכלה העולמית לסף התהום ולקפיטליזם חזירי. כך גם רופא שמנסה להיות רק "מדעי" יהיה פחות מוצלח מרופא שמנסה לשלב אמפתיה ורגישות. דוגמה שמבהירה את המגבלה של החשיבה הלוגית במציאות הריאלית: שוטר תנועה מקבל הנחיה לאפשר קיומה של הפגנה חוקית. הוא יפעל באופן הגיוני אם הוא יעצור את התנועה. במידה והוא יקבל הנחיה שההפגנה לא חוקית התנהגותו תהיה הגיונית אם הוא ימנע מהאנשים להפריע לתנועה. פעולות הפוכות וסותרות ששתיהן הגיוניות במציאות במסגרת "התנאים" שהוגדרו מראש. משמע, שההיגיון הוא שוטר תנועה לשמירת סדר בתנאים מוגדרים מראש (הבנייה מלאכותית של המציאות, אך בפרספקטיבה של המציאות הכוללת זו סתירה שההיגיון אוסר – מכאן שלא ניתן להגיע להכללות לוגיות במציאות הריאלית הכללית). למה טענתי לכאורה במשקפיים "לוגיות". מחקרים רבים בפסיכולוגיה ומחקריו של כהנמן בחקר המוח, כמו גם מחקריו של דמאסיו, גולדברג ואחרים מלמדים שהמוח האנושי עושה מיליוני פעולות המשלבות הגיון, רגש והיסטוריה קודמת של המוח לפני שהמודעות נכנסת לתפקוד ומנסה להשליט את ההיגיון על התהליכים הללו. מכאן שההיגיון כשולט על התהליך הוא לעולם שני לתהליכים שמשלבים בהכרח רגש והגיון. משמע, שההליך ההגיוני מושפע מהקשרי האינפורמציה העצומה, חוויתית-רגשית ועיבודה האינטואיטיבי לפני שהוא מפעיל מנגנוני שליטה המונחים על-ידי ההיגיון (מזל שזה כך). ההיגיון, אם מתייחסים אליו כאמצעי האולטימטיבי להגיע "לאמת", הוא משענת קנה רצוץ, הן בגלל מגבלות שהצגתי לעיל והן בגלל שהצדדים הרגשיים, הדמיון וכד' נדרשים להתמודדות עם המציאות הריאלית (שאין בה "אמת" שההיגיון יכול להוביל אותנו אליה). לכן תפקיד החינוך ליצור השעיה של פעולת המוח בנטייה שלו להעביר כמה שיותר מהר את השרביט למוח השמאלי ולשליטה אולטימטיבית של ההיגיון. הדבר חיוני לפיתוח היכולת היצירתית של האדם, החשיבה המורכבת והדינאמית, שמערכת החינוך המערבית (המקדשת את החשיבה הלוגית) מסרסת אותו במקום לעודד אותו (מחקרים מצביעים על כך שלילדים יכולת יצירתית גבוהה יותר ממבוגרים, שהיצרתיות אצלם הולכת ודועת ככל שהם מתבגרים במערכת ההשכלה). אותה יצירתיות חיונית למדע הפוסט-פוזיטיבסטי, ובודאי לעידן הדמוקרטי (הרחבת יכולת הבחירה של האדם, ולא במובן הקנטיאני המעוות) והסינגולארי שאנו כבר מצויים בו.באשר למתמטיקה האינפיניטסמלית (שילוב של דיפרנציאליות ואינטגראליות כאילו הן מתמטיקה אחת): עד לניוטון ההנחה הייתה שניתן לתאר את העולם הפיסי באמצעות הגיאומטריה האוקלידית. אחת מההנחות/הדרישות של הפוזיטיביזם המודרני שיהיה ניתן לתאר את העולם באמצעות המתמטיקה (שפינוזה הניח את היסודות לכך והצלחתו של ניוטון לנסח באופן מתמטי את חוקי היסוד שלו בפיסיקה חיזקו מגמה זו). קרי, גם קווים עקומים, ולא רק קווים "מושלמים" – ישרים ומעגליים – ניתנים לתיאור מתמטי. נשאלת השאלה כיצד עוברים מקווים "מושלמים" לקווים עקומים? קווים מושלמים יש רק בראשו של האדם – במציאות הפיסית אין קווים מושלמים – לא ישרים ולא מעגליים. מתמטיקה, שאמורה להיות אחת ומאוחדת (לכן התייחסו אליה כ"מלכת המדעים") לא הייתה מסוגל להכניס את שתי הדרישות למערכת אחת מבלי לפצל אותה לשתי מערכות ולהמשיך להניח שזו אותה מערכת אחידה. כשמבינים את מה שפול כהן הוכיח, והוצג לעיל, מבינים שבמערכות מורכבות לא ניתן להציע מתמטיקה אחת רציפה. כל מי שמניח שהדבר בכל זאת אפשרי נכנס תחת הניסוח שפרופ' שלו מציע, בודאי כשמדובר בתחומי החברה והרוח: "אפשר גם להרהר או לערער על ההיבט התרבותי של סביבה שמניחה שאפשר לדעת או להוכיח כל דבר, ובכך הופכת סוגיות ערכיות או פילוסופיות לבעלות צביון טכני גרידא" (שלו, 2008). כבר קון (1977) הבין שהמדע הוא לא טכני גרידא, ובודאי לא רק לוגי, שהופך אותו לטכני. הוא הבהיר שהמדע לא יכול לשנות פרדיגמות אם הוא יפעל על "טהרת הלוגיות".

    פורסמה ב 22/11/2011 ע״י יצחק עזוז

    תודה על הסבר רחב יריעה. יעל

    פורסמה ב 22/11/2011 ע״י יעל עדיני

    תודה על הסבר רחב יריעה. יעל

    פורסמה ב 22/11/2011 ע״י יעל עדיני

    שלום רוני קרסנטיאני מבקשת ליצור איתך קשר בנושא פרויקט המתמטיקה של חברת הלן דורון. אני מנהלת הפיתוח שלו.הדוא"ל שלי – למעלה. הטלפונים: 0502148819, 049885907תודה מראשצפי סיימונס

    פורסמה ב 30/01/2006 ע״י צפי סיימונס

    שלום רוני, נהנתי מהמאמר המלא שכתבתם. אני עוסקת בחקר המוח ומנסה עם עמיתים לייצר נירו פדגוגיה . אשמח לשוחח או להתכתב איתך.

    פורסמה ב 09/03/2011 ע״י יעל עדיני
    מה דעתך?