תהליכי רכישת מושגים מתמטיים באמצעות הגדרות ובאמצעות דוגמאות אצל תלמידי בית הספר היסודי

מקור:  הלכה למעשה, מס' 10, האגף לתכנון ולפיתוח תוכניות לימודים. משרד החינוך

מבוא

הפסיכולוגיה הקוגניטיבית והפילוסופיה עוסקות בהרחבה בשאלה מהו מושג. היבט חשוב של הדיון מתייחס לשאלה, האם ניתן לאפיין מושג באופן חד-משמעי באמצעות תכונות. בוויכוח בשאלה מהו מושג אנו נמצאים על קרקע בטוחה כשאנו עוסקים במושגים מתמטיים, כי במתמטיקה יש הגדרה לכל מושג שאינו ראשוני. ההגדרה קובעת את המשמעות שיש לייחס לביטוי חדש באמצעות ביטויים קודמים. ההגדרה קובעת את היקף המושג (כלומר, המחלקה הכוללת את כל הדוגמאות השייכות לו) וכיצד הוא מתייחס למושגים אחרים. מבחינת ההיבט הלוגי של המושג, המצב בתחום המתמטיקה ברור; לא כך הדבר כשעוסקים בהיבטים הפסיכולוגיים שלו, כלומר בשאלות הנלוות לרכישת המושג.

לרכישת מושג, שהיא אחד המרכיבים העיקריים בלמידה, פנים רבות: ידיעת היקפו של המושג, ידיעת תוכנו של המושג (כלומר, תיאור התכונות המגדירות אותו), הבנת שם המושג וכדומה. לפי קלאוזמייר (Klausmeier, 1976), ניתן ללמוד מושג בארבע רמות: ברמה הקונקרטית, ברמת הזהות, ברמת הסיווג וברמה הפורמלית. בהוראת המתמטיקה מתעניינים בשתי הרמות הגבוהות: רמת הסיווג והרמה הפורמלית.

במחקר שיתואר להלן בדקנו את הלמידה באמצעות ביצוע מטלות קוגניטיביות אחדות הקשורות למושג:

א.  זיהוי דוגמאות חדשות, בלתי מוכרות, חיוביות ושליליות של המושג;
ב.  בניית דוגמאות חדשות, חיוביות ושליליות;
ג    ניסוח הגדרה של המושג;
ד.  זיהוי תכונות כלליות אופייניות או בלתי אופייניות למושג.

 מטרת המחקר

מטרת המחקר הייתה לבדוק תהליכים ברכישת מושגים מתמטיים על היבטיהם השונים. הכוונה לא הייתה למצוא דרך יעילה ביותר או טובה ביותר לרכישת מושגים, אלא ללמוד על דרכי החשיבה של הנבדקים בעקבות למידה עצמאית באחת משתי הדרכים האלה:

1.    למידה מהגדרת המושג ומתיאור מילולי של תכונותיו הכלליות.
2.    למידה מסדרה של דוגמאות חיוביות ושליליות של המושג.

הנבדקים

הנבדקים היו בנים ובנות, תלמידי כיתות ה' ו-ח' בבתי ספר ממלכתיים-דתיים בירושלים. בכל ניסוי למידה של מושג נבחרו התלמידים הצעירים והבוגרים מאותו בית ספר. את ההבדלים בתוצאות הניסוי אפשר לשייך לפער הגילים ולהבדל בדרך הלמידה ולא להבדלים באוכלוסיה.

ממצאים

ניתן לראות שההבדלים בהישגים בעקבות דרכי הלמידה השונות הם אחידים לגבי כל המטלות.

ניתן היה לשער מראש כי אלה שלמדו מדוגמאות יצליחו יותר בזיהוי דוגמאות מאשר אלה שלמדו מהגדרה ומתכונות כלליות, ולהיפך. אך לא זה היה המצב, והדבר בלט מאוד מהישגיהם של הנבדקים מכיתה ח'. אלה שלמדו מדוגמאות, הצליחו יותר מאלה שלמדו מהגדרה ומתכונות גם בזיהוי הדוגמאות, גם בבנייה של הדוגמאות וגם בהתייחסות להיגדים. 68% מהלומדים מדוגמאות הגיעו לשליטה בהתייחסות להיגדים לעומת 39% מאלה שלמדו מהגדרה ומתכונות כלליות. ההבדל בניסוח הגדרה הוא לא גדול, אף שניתן לצפות כי אלה שראו את ההגדרה לנגד עיניהם יצליחו הרבה יותר מאלה שצריכים לנסח הגדרה בעצמם. לא כך קרה.

מהממצאים מצטיירת התמונה הבאה: נוסו שתי דרכי למידה. אחת הדרכים, למידה מדוגמאות, התבררה כיותר אפקטיבית אצל נבדקים מכיתה ח', ואלה שלמדו בדרך זו תפקדו טוב יותר בכל המטלות ולא רק במטלות שהיו דומות לדרך הלמידה.

במחקרם של הרון ואחרים (Heron et al., 1976) נמצאה השפעה של דרך הלמידה על ביצוע מטלות שונות במושג. לפי ממצא אחר של הרון, נמצאה יותר קוהרנטיות בין הגדרת העבודה (ההגדרה שמשמשת את הנבדק בזיהוי דוגמאות ובבניית דוגמאות) לבין ההגדרה המנוסחת אצל נבדקים שלמדו מדוגמאות. לממצא זה יש תמיכה במחקר המתואר כאן.

הישגי הנבדקים מכיתות ח' היו טובים יותר מהישגי הנבדקים מכיתות ה'. הפער בהישגים היה בולט במיוחד אצל הלומדים מדוגמאות (ברמת מובהקות סטטיסטית של 005.). ממצא זה אינו מפתיע, כמובן, ומתיישב עם התאוריה ההתפתחותית של פיאז'ה. לפי תאוריה זו, כשרים קוגניטיביים מסוימים, כמו חשיבה היפותטית, טיפול בדיסיונקציה, בקוניונקציה וכדומה, הדרושים להצלחת המטלות בניסויים במחקר זה, מתפתחים בגיל החשיבה הפורמלית (Sinclair, 1970).

הבדל אחר בין הנבדקים הצעירים לבוגרים מחייב הסבר. כבר נאמר שהנבדקים הבוגרים בניסוי המדרגון הצליחו יותר בלמידה מדוגמאות. אצל הנבדקים הצעירים, גם בניסוי המדרגון הייתה עדיפות ללמידה מהגדרת ומתכונות כלליות. ממצא זה מפתיע: למידה מהגדרה ומתכונות מתקשרת עם למידה פורמלית, ומפתיע כביכול שהיא קלה יותר לנבדקים הצעירים וקשה יותר לבוגרים. פירוש אפשרי לכך הוא, שחלק מהנבדקים הצעירים אינם בשלים ללמידה מדוגמאות, שמצריכה יכולת ניתוח, הפשטה, הכללה והסקת מסקנות. לעומת זאת, הלמידה מהגדרה ומתכונות התבררה כלמידה ישירה יותר ושטחית יותר, ולכן קלה גם לנבדקים הצעירים. בחלק מהמקרים קשה להבחין חד-משמעית בין תשובה נכונה, המבוססת על הבנה מעמיקה, לבין תשובה שטחית, המבוססת על הבנה חלקית. חלק מהנבדקים למדו מדפי הלמידה כיצד "לשחק" במילים ולענות תשובות נכונות, גם אם אין מאחוריהן הבנה עמוקה.

התנהגות זו, שהיא פסאודו-מושגית (Vinner, 1993), נצפתה הן בקרב נבדקי כיתות ה' והן בקרב נבדקי כיתות ח'. יכולת הלמידה ממילים, כולל ה"משחק" במילים, אינה פוחתת עם הגיל, אלא להיפך: היא משתפרת, אם כי מעט. לעומת זאת, יכולת הלמידה מדוגמאות עולה בהרבה עם הגיל. ההתקדמות הרבה עם הגיל בלמידה מדוגמאות הפכה את הלמידה הזאת לדרך עדיפה בקרב הנבדקים הבוגרים.

אצל הלומדים מדוגמאות, ההבדלים בין הישגי הנבדקים בגילים השונים היו גדולים יותר וגם ברמת מובהקות גבוהה יותר מבחינה סטטיסטית מאשר ההבדלים אצל הלומדים מהגדרה ומתכונות בשני הגילים. במילים אחרות, ההתקדמות מכיתות ה' לכיתות ח' בלמידה מדוגמאות רבה יותר מאשר בלמידה מהגדרה ותכונות.

ממצא זה מתקשר עם האמור למעלה, וניתן לפרש אותו כך: הנבדקים בכיתה ה' מגיעים להבנה מילולית סבירה, שאינה משתכללת הרבה בין כיתה ה' לכיתה ח'. לעומת זאת, יכולת החשיבה, שמתבטאת ביכולת ניתוח, הכללה והסקת מסקנות, מתפתחת יותר בין כיתה ה' לכיתה ח'.

ראוי להביא הערה נוספת: מהמחקר מתברר שהלמידה מדוגמאות הייתה משמעותית יותר מהלמידה מהגדרה ומתכונות כלליות. אף על פי שהלמידה מהגדרה ומתכונות כלליות התבררה כאפקטיבית יותר בחלק מהמקרים, יש להיזהר מליפול לפח של מלל ריק ללא הבנה (נשר, גרוסמן-מאונטוויטן, 1975).