תרומת הלומדות בלימוד גיאומטריה – שימוש סלקטיבי על פי רמת הלומד

מקור: מכללת אחווה – המכללה האקדמית לחינוך (בסיוע מכון מופ"ת).

הדו"ח עוסק בתרומה של העבודה בסביבה ממוחשבת של פרחי הוראה ושל מורים בפועל (לא דווקא להוראת המתמטיקה) המתמחים בהוראת המתמטיקה.

מטרת המחקר לבדוק כיצד הסטודנטים נתרמים מלומדות מתמטיות בעת לימוד גיאומטריה וגיאומטריה אנליטית. החוקרות התעניינו בהבדלים בתרומה בהתאם לסוג הבעיה, ללומדה, לסוג הקורס ולהרכב הקבוצה בנוסף התעניינו החוקרות בשינוי הרמה של הסטודנטים בהתאם לסוג הבעיה, להרכב הקבוצה, בהתאם ללומדה ולסוג הקורס. החוקרות ערכו מבחני חי בריבוע ו-t לבדיקת השינוי ברמות ההתפתחות של ואן-הילה בהתאם לשימוש במחשבים ולבדיקת התרומה להישגים. חשיבות המחקר בכך שהוא מציע שילוב יעיל של הלומדות בהתאם לרמת הלומד ולסוג השאלה. מציאת הדרך הנאותה לשילוב הלומדות בלמידה של הסטודנטים להוראה תתרום להעשרת השיעורים של פרחי ההוראה במכללה ותפתח בפני המורים לעתיד, דרך נאותה לשלב את הלומדות לכשילמדו גיאומטריה בכיתותיהם.

רמות התפתחות החשיבה של ואן-הילה

ואן הילה התעניין במציאת דרכי התפתחות הבנה אצל לומדים. בעבודתו מאפיין ואן-הילה את ההבנה באופן הבא: הלומד מבין את הנלמד, אם הוא מסוגל ליישם את הנלמד בסיטואציה חדשה, לבצע פעילויות הנובעות מן הסיטואציה בדרך נכונה ומתאימה ולהציג את הדרך הזו בצורה מודעת (Van Hiele,1999).  

על פי התיאוריה של ואן-הילה, ניתנת התפתחות החשיבה במתמטיקה, ובפרט בגיאומטריה, לסידור היררכי בן 5 רמות.

רמה 1 – הכרה (Recognition) – ברמה זו יכול התלמיד ללמוד מכלול של צורות גיאומטריות, יודע לזהות צורות גיאומטריות, ולהבחין בין צורות שונות. הצורה נתפסת כשלמות (אין תשומת לב למרכיביה) כפי שהיא נראית והנימוקים של התלמיד הפועל ברמה זו מסתמכים על סיווג הצורות לפי צורתן הכללית. בשלב זה עדיין אין התלמיד יודע את התכונות של אותה צורה גיאומטרית.

רמה 2 – אנליזה (analysis) – ברמה זו התלמיד יכול לזהות ולנתח תכונות של צורות. התלמיד יודע ומכיר את התכונות של הצורות הגיאומטריות שהוא רואה, אולם הוא אינו מכיר ואינו מבין כל תכונה בנפרד, אינו יודע לקשר בין התכונות השונות, ואינו יכול להסביר כיצד תכונה אחת נובעת מן השנייה, כלומר, הוא עדיין אינו מכיר ואינו מבין את היחסים בין התכונות. הנימוקים של הלומדים הפועלים ברמה זו, מסתמכים על אנליזה לא פורמאלית של תכונות הצורה הגיאומטרית.

רמה 3 – סידור (ordering) – התלמיד מבין את הסדר הלוגי של הצורות, את היחסים בין הצורות ותכונותיהן, ואת חשיבות ההגדרות המדויקות. הוא עדיין אינו תופס את המשמעות של מבנה דדוקטיבי כשלמות אחת, אך מסוגל להבין כיצד תכונה אחת נובעת מהשנייה ואינו יכול עדיין להוכיח את התכונות של הצורות הגיאומטריות.

רמה 4 – דדוקציה (deduction) – התלמיד מבין את משמעות הדדוקציה כאמצעי לפיתוח תיאוריה גיאומטרית, הוא מבין את תפקידם של מונחי היסוד, ההגדרות, האקסיומות, המשפטים וההוכחות (כחוליות בשרשרת של המבנה הדדוקטיבי). בשלב זה הוא יכול להשתמש בהנחות כדי להוכיח משפטים, להבין את המשמעות של תנאים הכרחיים ומספיקים. תלמיד ברמה זו מסוגל לתת סיבות ונימוקים לשלבים בהוכחה, אולם עדיין אינו מבין את חשיבות הדיוק ואינו מבין את ההיבט הפורמאלי של הדדוקציה.

רמה 5 – דיוק (rigor) – התלמיד מבין את חשיבות הדיוק. כשעוסקים במבנים שונים, הוא מסוגל לבצע דדוקציות מופשטות, תוך שהוא מבין את ההיבט הפורמאלי של דדוקציה, ברמה זו הוא יכול לחקור את התוצאות הנובעות מהחלפת מערכת אקסיומות אחת בשנייה. הוא מכיר ויכול להשוות בין אסטרטגיות שונות של הוכחה. הוא יכול "לגלות" משפטים חדשים ושיטות הוכחה ויכול לחשוב על הבעיה של זיהוי הקונטקסט הרחב ביותר בו משפט מסוים יכול להיות ישים.

ואן-הילה מדגיש שהתקדמות מרמה אחת לרמה הבאה אחריה תלויה בתהליך ההוראה, ועל המורה לבנות את הוראתו על פי השלבים הללו.

שאלות המחקר

כיצד תורמות לומדות במתמטיקה לפרחי הוראה הלומדים גיאומטריה וגיאומטריה אנליטית:

א. מהם האפיונים של תרומת הלומדות לפרחי ההוראה הלומדים גיאומטריה וגיאומטריה אנליטית בהתאם לסוג הבעיה, להרכב הקבוצה, ללומדה ולסוג הקורס?

ב.כיצד השינוי ברמות ההתפתחות של ואן הילה הושפע מהשימוש במחשב?

ג. מה התרומה להישגים של הסטודנטים בהתאם לשלב בו הם נמצאים בהתפתחות החשיבה לפי ואן-הילה?

אוכלוסיית המחקר

אוכלוסיית המחקר כללה 5 קבוצות לימוד שונות:

קבוצה מספר 1 – קבוצה של 7 סטודנטים, מורים בפועל, שנה א' מסלול חט"ב שלא כולם מלמדים מתמטיקה. הסטודנטים עבדו עם התוכנה Mathematix ""  בשיעור הנדסה אנליטית והיו רגילים לכך שחלק מהשיעורים מתקיימים בחדרי מחשבים.

קבוצה מספר 2 – קבוצה של 12 סטודנטים, פרחי הוראה, שנה ב', מסלולים חט"ב ויסודי, אשר למדו "שימוש מחשב בהוראת המתמטיקה". השיעורים מתקיימים כולם בחדרי המחשבים. הסטודנטים למדו הנדסה אנליטית, ללא מחשבים, בשנה שקדמה לשנה בה נערך הניסוי (תשס"ג), כאשר סטודנטית אחת למדה את הקורס במקביל לקורס זה. הסטודנטים הכירו את התוכנה Mathematix "" ועבדו איתה על דף עבודה מספר 1. הסטודנטים למדו בסמסטר ראשון של תשס"ג את הקורס "בניות וטרנספורמציות ". הסטודנטים הכירו את התוכנה "הנדסה בתנועה" ועבדו איתה על דף עבודה מספר 2.

קבוצה מספר 3 - קבוצה של 16 סטודנטים, פרחי הוראה, שנה ג', מסלול חט"ב. הסטודנטים עבדו עם הלומדה "ללא גבולות" בשיעור בקורס "הנדסה אנליטית 2" ורגילים לכך שחלק מהשיעורים מתקיימים בחדרי מחשבים עם לומדה זו. את הלומדה Mathematix "" הם הכירו הכרות שטחית (כלומר, הכירו את התוכנה בשיעור "שימוש מחשב בהוראת המתמטיקה בשנה שקדמה לשנה בה נערך הניסוי, אך לא עבדו עם התוכנה בשיעור מתמטיקה).

קבוצה מספר 4 – קבוצה של 14 סטודנטים, פרחי הוראה, שנה ב' במסלול חט"ב. המשימה בוצעה עם הלומדה Mathematix "", בשיעור בקורס "הנדסה אנליטית 1" אותה הכירו הכרות שטחית (כלומר, הכירו את התוכנה בשיעור "שימוש מחשב בהוראת המתמטיקה בשנה שבה נערך הניסוי, אך לא עבדו עם התוכנה בשיעור מתמטיקה). הסטודנטים לא רגילים לכך שחלק מהשיעורים מתקיימים בחדרי מחשבים.

קבוצה מספר 5 – קבוצה 21 סטודנטים, פרחי הוראה, שנה א' מסלולים חט"ב ויסודי, אשר במקביל ללימוד גיאומטריה למדו שימושים בתוכנה WORD ותרגלו בעיות רלוונטיות בגיאומטריה בעזרת סרגל הציור של התוכנה.

מערך המחקר

המחקר משלב מחקר כמותי ומחקר איכותני. בעזרת שאלוני ואן הילה ושאלוני המשוב, באופן כמותי, בדקו החוקרות את האפיונים של תרומת הלומדות לפרחי הוראה בהתאם לסוג הבעיה, להרכב הקבוצה, בהתאם ללומדה ולסוג הקורס. החוקרות ערכו מבחני חי בריבוע ו-t לבדיקת השינוי ברמות ההתפתחות של ואן הילה בהתאם לשימוש במחשבים ולבדיקת התרומה להישגים.

סיכום ומסקנות

"קורסי המחשב נלמדים במכללה מזה שנים רבות, כאשר במהלך השנים האחרונות שילבנו לימוד של לומדות במתמטיקה כחלק מקורסי מחשב למתמחים במתמטיקה בנוסף לשיעורים בהם המרצים משלבים את הלומדות כחלק מהתהליך ההוראה. בניסוי זה התעניינו באפיון השימוש בלומדות. הצגנו 3 אופנים של שימוש במחשב: ככלי עזר לצורך הבנת הבעיה, ככלי עזר בגילוי הפתרון ולצורך הבניית הוכחה עקבית.

לשלוש האופנים האלה הוספנו אפשרות נוספת כדי לבדוק אם הסטודנטים משתמשים בלומדה באופן שלא ציפינו. בנוסף לכך, הבחנו בין "בעיות שגרתיות" ל"בעיות לא שגרתיות". שיערנו שאפיוני השימוש במחשב יהיו שונים כאשר הסטודנטים עוסקים ב"בעיות שגרתיות" (שהם אמורים לדעת את האלגוריתמים לפתרונן או לפחות את הסקיצה ההתחלתית של תהליך ההתרה) לביו אפיוני שימוש במחשב ב"בעיות לא שגרתיות" (דיון באובייקטים גיאומטריים לא מוכרים או בתהליכים מתמטיים לא מוכרים)".

 התוצאות של מבחני חי בריבוע מראים שמורים בפועל משתמשים במחשב לצורך הבנת הבעיה גם בבעיות שגרתיות וגם בבעיות לא שגרתיות באופן שאינו שונה באופן מובהק. לעומת זאת המורים בפועל משתמשים יותר בלומדה באופן מובהק כדי לגלות את הפתרון בבעיות לא שגרתיות מאשר בבעיות שגרתיות.

"מבחני החי בריבוע מראים שאין הבדל מובהק בקרב פרחי הוראה בין השימוש בלומדה לבין האופנים השונים של השימוש בבעיות לא שגרתיות. לעומת זאת בבעיות שגרתיות מצאנו שאין הבדל מובהק בין שימוש במחשב ככלי עזר לצורך הבנת הבעיה לבין שימוש במחשב ככלי עזר בגילוי הפתרון, אבל יש הבדל מובהק בין שימוש במחשב לצורך גילוי הפתרון לבין שימוש בו לצורך הבניית הוכחה עקבית. הסטודנטים הציגו שיקולים נוספים לשימוש במחשב: אימות התשובות, תיקון השגיאות, כיוון למחשבה, תחושה, מקל על ההסבר. בנוסף למילוי שאלוני המשוב הוסיפו הסטודנטים הערות מהם ניתן ללמוד על קונפליקט בין עבודה אינדוקטיבית במחשב לבין עבודה דדוקטיבית על הדף ומכאן על חוסר קישור בין לימוד בסביבה ממוחשבת לבין שיעור מתמטיקה בחדר לימוד."

"ההפרדה בין קורסי המחשב לקורסי המתמטיקה נעשתה לפני שנים כאשר היה צורך בפיתוח מיומנויות מחשב בסיסיות לא דווקא לצורך השימוש במתמטיקה. מבנה לימודים מסורתי זה מיצה כנראה את עצמו, לפחות כאשר מטרתנו – מציאת אופן השימוש במחשב שילווה את לימוד המתמטיקה בכלל והגיאומטריה בפרט. מאידך, השפיעה הפרדה זו גם על תפיסת הגיאומטריה כאוסף של אמיתות נצחיות שאינן תלויות בעוסקים בה ובכלים בהם משתמשים בפעילויות. פרחי ההוראה נדרשו לקשר בין הגיאומטריה והגיאומטריה האנליטית שלמדו בקורסי מתמטיקה לבין יכולות הלומדות שלמדו בקורסי מחשב ולבנות מהשילוב תרומה ללמידתם ולהוראה בהמשך דרכם.
מן התוצאות הסטטיסטיות אנו רואים שפרחי הוראה מכירים את התוכנות והלומדות המתמטיות, אך לא מתרגילים מספיק לשימוש משמעתי בהם במהלך עיסוקיהם במתמטיקה במסגרות המוגדרות כעיוניות ולא שולטים בכל האופציות. ההפרדה בין קורסי המחשב ובין קורסי המתמטיקה מונעת היווצרות נורמות סוציו-מתמטיות שיבנו את אופן העבודה בסביבה ממוחשבת כך שיובילו להוכחות פורמאליות מבחינה מתמטית".

מן התוצאות הסטטיסטיות נובע שעבודה בסביבה ממוחשבת תורמת במספר אופנים:

·  כאשר השאלות שגרתיות, אפשר לקבל את הפתרון בעזרת המחשב ואז לבנות את הדרך התיאורטית, אפשר לפתור בדרך תיאורטית ואז לבדוק את התשובות. אם התשובה נכונה – לאמת אותה ואם התשובה שגויה – לתקן ולחפש כיוון לתיקון.

·  כאשר הבעות אינן שגרתיות מכל סיבה שהיא, בין אם זו שאלה פתוחה מהסוג של שאלת חקר, ובין אם התחום או המושג המרכזי בהן אינו מוכר דיו לסטודנטים – הלומדות מסייעות בהצגת תמונה כללית, בהצגת אב-טיפוס, בבדיקת התכונות המשתנות והתכונות הנותרות ללא שינוי (בעזרת הדינאמיות של הלומדות). העבודה בלומדות נותנת כיוון למחשבה ופריצת דרך לכיוון ההוכחה. בשני סוגי הבעיות – הלומדות עוזרות בהבנת הבעיה, אך לא תמיד ברור מהו המכלול של מהלך הפתרון: מהעלאת ההשערה ועד מתן ההוכחה הכללית או הפתרון הכללי, כולל הצורך להוכיח שהפתרון המוצע הנו פתרון הממצה את הבעיה, כמו שנדרש לעשות למשל בבעיות בנייה.

בהתאם לקשיים בהוראת הגיאומטריה שהוצגו נראה שעבודה בעזרת לומדות בגיאומטריה ובגיאומטריה אנליטית יכולה ליצור מוטיבציה לגילוי משפטים ולתקן תפיסות מוטעות בקרב פרחי הוראה.

פרחי ההוראה יכולים לשפר את "הוכחת היחיד" - ולהשתכנע בכך שכלל מסוים הוא נכון ולפתח את יכולת ההסבר, שעשויה לשפר הן את דרך ההוראה והן את היכולת לתמוך בתלמידים בעת הוראת מקצועות אלה. נראה שיש צורך בתמיכה במעבר מ"הוכחת היחיד" ל"הוכחה המתמטית הפורמאלית" כדי לייצור מורים משוכנעים בנכונות התכונות הגיאומטריות, בעלי יכולת הסברה, בעלי יכולת איתור בעיות אצל תלמידיהם בעתיד ובעלי יכולת הוכחה פורמאלית של המשפטים המתמטיים.

 אי לכך, יש צורך בהוראת הגיאומטריה והגיאומטריה האנליטית משולבות מחשב, במקום ההפרדה הקיימת כיום בין הקורסים הדיסציפלינריים לבין הקורסים בהם מלמדים את מיומנויות המחשב ואפילו כאלה המכוונים לדיסציפלינה. כחלק מתהליך ההוראה, בייחוד כאשר מדובר במורים העתידיים למתמטיקה, צריך להיות מלווה בדיון כיתתי על תרומת המחשב, ועל הציפיות ממנו, ועל מגבלותיו במה שקשור להוראת המתמטיקה בכלל וגיאומטריה בפרט. על הקורס להיות בנוי בצורה כזאת שיהיה ברור לסטודנטים שהאפשרויות הרחבות הטמונות בלומדות, ואפילו בלומדות הדינאמיות המתקדמות, אינן מבטלות את הצורך בהוכחה, בהכללה, בטיעון מתמטי תקף, אלא מספקות דוגמאות ודוגמאות נגדיות, עוזרות להעלות השערות ולבדוק אותן, ועוד. תרומה של מחשב לתהליכים סוציו-מתמטיים היא בהעשרת הדיון ובהרחבת מגוון האופציות להעלאת רמתו. אחת המסקנות מן הממצאים היא שגם משתמשים שאינם נרתעים מהשימוש במחשב לצורך חקר בעיה מתמטית, לא תמיד מודעים לאפשרויות השימוש בו, ויש בהחלט צורך בחשיפתם למגוון רחב של כלים, תוך התייחסות ליכולת ולמגבלות של כל כלי.

המקורות המצוטטים בסיכום:

Van Hiele,1999, P.M. (1999). "Developing geometric thinking through activities that begin with play", Teaching Children Mathematics, 5 (6), pp. 310-316.

Usiskin, Z. (1982). Van Hiela levels and achievement in secondary school geometry. The University of Chicago.