מה אנחנו מלמדים כשאנחנו מלמדים מתמטיקה וכיצד זה אמור להשתקף בהכשרת מורים?

ברבש, מ' (2016). מה אנחנו מלמדים כשאנחנו מלמדים מתמטיקה וכיצד זה אמור להשתקף בהכשרת מורים? ביטאון מכון מופ"ת, 58, 61-54.

ד"ר מריטה ברבש | ראש החוג למתמטיקה, המכללה האקדמית אחוה

המאמר המלא מופיע כקובץ PDF בטור המידע מצד שמאל ("חומרים נוספים").

תכנית לימודים וחומרי לימוד המיועדים לבית ספר, בכל גיל ובכל מערכת חינוך, נועדו להקנות לתלמידים פרקים של ידע מתמטי שאנשי חינוך ומתמטיקאים מצאו רלוונטיים ללמידה במסגרת ההשכלה של הדור הצעיר. פרקי ידע אלה נלמדים בצורות וברמות המותאמות לתלמידים בגילאים שונים ולשלבים שונים של התפתחותם המתמטית.

שילוב תכנים מתמטיים בהוראה הבית-ספרית מחייב ״עיבוד דידקטי״ או את מה שבורוביק (2012, Borovik) כינה (בעקבות Bass Hyman, 2005 ו-[1]Comte Auguste) "טרנספורמציה דידקטית״.

עיבוד דידקטי כולל פישוטם והתאמתם של תכנים מתמטיים לצורכי הוראה בבית הספר. ההתאמה לצורכי הוראה ברמה זו או אחרת חייבת להיעשות כך שהתוכן המתמטי לא יתעוות במהלך העיבוד הדידקטי, אחרת אובייקט או נושא מתמטי עלול להפוך לאובייקט או לנושא אחר או לאבד לחלוטין משמעות כלשהי.

עיבוד כזה של תוכן מתמטי איננו משימה פשוטה כלל, היות שהוא מחייב שילוב של שיקולים מתמטיים ושיקולים פדגוגיים-דידקטיים, הבנת הצורך שלשמו נלמד פרק זה או אחר והבנת תפקידו ומיקומו בהתפתחות הידע המתמטי של תלמידים לאורך שנות הלימוד. לדעתו של בורוביק (שם, עמ' 85), הפיכת תוכן מתמטי לנושא הוראה בבית ספר הוא פעילות מתמטית:

 We have to accept that, in mathematics, didactic transformation is indeed a form of mathematical practice. Moreover, it is in a sense applied research since it is aimed at a specific application of mathematics: teaching.

כך או אחרת, פישוט של אובייקט מתמטי לרמה שתאפשר את הוראתו בבית הספר יוצר מתח בין ה״טבע המתמטי״ של האובייקט לבין ייצוגו בתכנית הלימודים ובחומרי לימוד. מתח זה עלול להפוך לבלתי-סביר ולבלתי-נסבל אם ה״אמת המתמטית״ מוקרבת לטובת הנוחות הדידקטית, מדומה או אפילו אמיתית, כמו, למשל, הוראת שיטות התרה ללא כל הסבר של שיטות עצמן ושל משמעות הוצאות (שם, עמ' 86):

Unfortunately, the principles of didactic transformation are frequently neglected in the mainstream mass mathematics instruction. Hans Freudenthal even coined the expression 'anti-didactic inversion' … to describe the regrettable situation when purely procedural aspects of mathematics dominate the teaching.

חשוב שהמורים למתמטיקה יהיו מודעים לקשר בין הנושא המתמטי כפי שהוא מתגלה לתלמידים בשלבי לימוד שונים, לבין ״האמת המתמטית״, אם אכן כוונתנו היא שאלה יהיו המורים למתמטיקה ולא רק המורים לקראת מבחן זה או אחר, חשוב ככל שיהיה.[2]

אחת המסקנות של ועדת גוטפרוינד (גוטפרוינד ורוזנברג, 2012) היא שהמורים למתמטיקה בבית הספר העל-יסודי צריכים ללמוד מתמטיקה ברמה של B.Sc. (לפחות), המקובלת בפקולטות למתמטיקה באוניברסיטאות. עם זאת קיימים מחקרים רבים ומתנהלים דיונים רבים המוקדשים לידע פרופסיונלי של מורים למתמטיקה ובפרט - לידע המורים במתמטיקה כמרכיב בידע פרופסיונלי זה [3] (ראו למשל Hill et al., 2008). אין ספק שמורים עתידיים צריכים ללמוד קורסים מתקדמים במתמטיקה על מנת להבין מהו בכלל תחום התוכן שהם מלמדים. עם זאת, בהתאם לייעודם המקצועי השונה, הידע של מורים במתמטיקה לא צריך להיות זהה לא לידע של מתמטיקאים חוקרים ולא לזה של מהנדסים, של כלכלנים ושל בעלי מקצועות אחרים המסתמכים על ידע מתמטי ספציפי ככלי בתחום הדעת שלהם.

כפי שוו (2011, Wu) ניסח זאת:

To help teachers teach effectively, we must provide them with a body of mathematical knowledge that satisfies both of the following conditions: (A) It is relevant to teaching, i.e., does not stray far from the material they teach in school. (B) It is consistent with the fundamental principles of mathematics. (p. 373).

עלינו גם לזכור שכידוע העברת ידע (knowledge of transfer) היא יכולת מיוחדת שרחוקה מלהיות מובנת מאליה; לכן העובדה שמורה למד בעברו נושא מתמטי זה או אחר איננה מבטיחה שהוא מצליח לראות את הרלוונטיות של נושא זה להוראה, ויש להבנות את הקישורים בין תכנים מתמטיים, גם אם הם רלוונטיים להוראה בעיני מורי מורים או בעיני בוני תכניות לימודים למורים לבין התכנים הבית-ספריים.

במאמר זה אנסה להתייחס למתח בין המופע הדידקטי של נושאים או אובייקטים במתמטיקה לבין ההסתכלות המתמטית עליהם; כפועל יוצא - אנסה להבין מה וכיצד צריכים המורים ללמוד כדי למזער מתח ולהפוך פרק זה או אחר במתמטיקה לפשוט יותר, אך בשום אופן לא על חשבון הנכונות המתמטית. אתמקד כאן בסוגיית הייצוג של נושאים במתמטיקה לאורך שנות הלימוד בבית הספר, ובעקבות כך - בידע המתמטי של מורים הנחוץ כדי ללמד את התכנים בצורה מושכלת שתמנע קיבוע מחשבתי ותפיסות שגויות, וכן תמנע במידת האפשר יצירת דימויי מושג (1983, Vinner) בעייתיים.

אתייחס לעקרונות שוו (שם, ראו לעיל) ניסח לבחירת תכנים ללימודי המתמטיקה במסגרת לימודי הוראה, ואציע עקרונות נוספים. באופן כללי, אתמקד לא רק בנושאים שצריך ללמד את המורים, אלא ובעיקר באופן שבו נושאים מתמטיים צריכים להילמד לצורך הוראה.

לא אתייחס כאן להיבטים של דרכי הוראה ולהיבטים פדגוגיים ודידקטיים אחרים, אלא אתמקד בתחום התוכן.

הדוגמאות שבעזרתן אני מקווה להאיר את הדברים מופיעות בתכנית הלימודים הבית-ספרית ברמות שונות ובהקשרים שונים. בהמשך ארצה להתייחס בקצרה לכמה סוגיות נלוות לסוגיה של מבנה הידע המתמטי של המורים למתמטיקה, דהיינו:

• למה שמכונה ״המתמטיקה בחיי היום-יום״.
• להכשרת אקדמאים להוראת המתמטיקה.
• לשימוש בכלים טכנולוגיים בהוראת המתמטיקה.
  

 ___________

[1] (1852) Catèchisme Positivist (מצוטט אצל Borovik).

[2] אביע כאן את דעתי האישית: אין כל סתירה בין למידת מתמטיקה לבין הצורך בהיבחנות במבחני בגרות או במבחנים אחרים. מבחנים הם חלק בלתי-נפרד מלמידה ומהוראה במערכת חינוך. אף מערכת עוד לא מצאה דרך להסתדר בלעדיהם בכלל, ואני לא בטוחה שעלינו לחפש דרך כזאת, בתנאי שמבחנים הם תוצאה של למידה ולא מטרתה ומשקפים במידה אמינה את תוצאותיה.

[3] יש לציין שישראל הקדימה מדינות מפותחות רבות בכך שהשכילה להתחיל להכשיר מורים למתמטיקה גם לבית הספר היסודי כמורים מקצועיים הרוכשים נתח נכבד של ידע מתמטי.

מקורות

גוטפרוינד, ח׳ ורוזנברג, י׳ (עורכים) (2012). עולם הידע וההכשרה של העוסקים בהוראת המתמטיקה בחינוך העל יסודי: תמונת מצב והמלצות. הוועדה ״מה צריכים לדעת העוסקים בהוראת המתמטיקה בחינוך העל יסודי?״. האקדמיה הלאומית הישראלים למדעים. ירושלים: תשע״ב.

Bass, H. (2005). Mathematics, mathematicians, and mathematics education. Bull. Amer. Math. Soc, 4(4), 417–430.

Borovik, A. V. (November 2012). Shadows of truth: Metamathematics of elementary mathematics. Working draft 0.822. retrieved from http://www.maths.manchester.ac.uk/~avb/ST.pdf

Hill, H. C., Blunk, M., Charalambous, C., Lewis, J., Phelps, G., Sleep, L., & Ball, D. L. (2008). Mathematical knowledge for teaching and the mathematical quality of instruction: An exploratory study. Cognition and Instruction, 26(4), 430-511.

Wu, H. (March 2011). The mis-education of mathematics teachers. Notices of the AMS, 58(3), 372-384. American Mathematical Society.

Vinner, S. (1983). Concept definition, concept umage and the notion of function. International Journal of Mathematical Education in Science and Technololgy, 14(3), 293-305.