ידע של תלמידים בגן חובה ובכיתה א' על ייצוג של מספרים ופעולות חיבור וחיסור

מקור: אוניברסיטת תל אביב, ביה"ס לחינוך, תקצירי עבודות מחקר לתואר שלישי

סקירה תיאורטית

בשלבים הראשונים של הוראת החשבון, לימוד המספרים ופעולות החיבור והחיסור נעשה באמצעות מערכת סמלים גרפיים ובאמצעות מודלים שונים המדגימים את הנושאים הנלמדים. זאת לאור ההנחה, המקובלת על החוקרים בתחום המתמטיקה והעוסקים בהוראה, ששימוש במגוון מערכות ייצוג תורם להבנה טובה יותר של הנושאים הנלמדים. עם זאת, נמצא ששימוש במגוון מערכות ייצוג בתהליך ההוראה יוצר מצב למידה מורכב. המורכבות נובעת, בין השאר, מכך שהיכולת של התלמיד להבחין בין האובייקט המיוצג לבין המשמעות שאותו אובייקט מייצג מותנית בהתפתחותה של החשיבה הסימבולית, ביכולת להבחין בין תכונות מערכת הייצוג המשמעותיות לנושא הנלמד לבין אלו שאינן משמעותיות לייצוגו וכן, ביכולתו לבצע פעולה של תרגום בין מערכות הייצוג השונות ובינן לבין המשמעות של המושא המיוצג.

לנוכח מורכבות תהליך הלמידה והקשיים שיש לתלמידים בביצוע פעולת התרגום בין מערכות הייצוג לבין הנושאים המתמטים הנלמדים, נראה כי חשוב להרחיב את הידע של תלמידים על מערכות הייצוג בהן משתמשים בתהליך ההוראה, כמו גם על הקשרים שהם יוצרים בין מערכות הייצוג לבין הנושאים הנלמדים.

ידוע כי עוד בטרם הגיעם לבית הספר ילדים רוכשים ידע בלתי פורמלי על מספרים, על  תרגילים ועל אופן ייצוגם. בבית הספר מתחיל תהליך מובנה של לימוד נושאים אלה. לפיכך, המטרה המרכזית של המחקר הנוכחי היתה לבדוק את הידע של ילדים בגן חובה ותלמידים בכיתה א' במערכת ייצוג מוחשית - קוביות ובמערכת ייצוג סימבולית - בסמלים הגרפיים של המספרים הטבעיים ובתרגילי חיבור וחיסור.

מתודולוגיה

במחקר השתתפו 154 נבדקים מהם 48 ילדים בגיל גן חובה  ו- 106 תלמידים מכיתות א'. עם כל נבדק נערך ראיון אישי בו הוא התבקש להפיק ולזהות ייצוג של מספרים ושל תרגילי חיבור וחיסור בכל אחת ממערכות הייצוג. המספרים היו בגבול ה- 20.

ממצאים

לגבי הפקה של מספרים באמצעות מערכת מוחשית נמצא שלא כצפוי, כי יותר ילדי גן ייצגו את המספרים מאשר תלמידי כתה א'. ניתן להסביר מצב זה בסוג האסטרטגיה בה משתמשים הנבדקים בקבוצות השונות, לייצוג המספרים. בעוד שילדי הגן מייצגים את המספרים על ידי "אסטרטגיית הכמות" (אסטרטגיה של התאמה בין כמות הקוביות לבין שם המספר), הרי  שבכיתה א' השתמשו בשלוש אסטרטגיות ייצוג: "אסטרטגיית הכמות", כפי שנמצאה בקרב ילדי הגן, "אסטרטגיית הצבע" (אסטרטגיה בה התלמידים מאחדים בין התכונה של צבע הקוביה לבין שם המספר) ו"אסטרטגיה משלבת" (אסטרטגיה בה התלמידים משתמשים במשולב הן ב"אסטרטגיית הצבע" והן ב"אסטרטגיית הכמות" לייצוג מספר). נמצא כי 20% מתלמידי כיתה א', השתמשו ב"אסטרטגיית הצבע" ולא ייצגו  את כל  המספרים בשל העדרן של קוביות בצבעים המתאימים לצבעי הבדיד המייצג את המספר המבוקש. בגן, הקשיים בייצוג המספרים קשורים למנייה של כמויות גדולות מ- 10.

לגבי הפקת ייצוג  של תרגילי חיבור וחיסור באמצעות מערכת מוחשית נמצא כי בשתי קבוצות הגיל רמת הביצוע לא היתה גבוהה כאשר, כצפוי, רמת הביצוע של תלמידי כיתה א' היתה גבוהה מזו של ילדי הגן.

ניתוח אסטרטגיות הפקת התרגילים העלה כי בהתייחס לייצוג המספרים בתרגיל, ילדים בגן מייצגים בתרגילי חיבור את שני המחוברים ובתרגילי חיסור את המחוסר. בקרב תלמידי כיתה א' נמצאו תלמידים אשר ייצגו את המספרים כמו ילדי הגן וכן כאלה, אשר ייצגו את שלשת המספרים בתרגילים בשתי הפעולות. באשר לייצוג הפעולה, נמצא כי בגן הילדים מייצגים את פעולות החיבור והחיסור על ידי "ייצוג דינמי" של הפעולה (ייצוג המאופיין בביצוע פעולה של הוספת קוביות בחיבור ושל הורדת קוביות בחיסור). לעומתם, בכיתה א' נמצאו גם תלמידים שייצגו את הפעולה באופן דומה לזה של ילדי הגן וגם כאלה שייצגו את הפעולה ב"ייצוג סטטי" (באמצעות ייצוג הסכום בחיבור וההפרש בחיסור), או על ידי הנחת הקוביות באופן דומה לזה של הנחת הבדידים בפעולות השונות. בעוד שבכיתה א' הקשיים בייצוג התרגילים נובעים מייחוס תכונת הצבע למספרים, הרי שהקשיים של ילדי הגן קשורים בגודל המספרים (ייצוג של מספרים בעשרת השניה קשה מייצוג מספרים בעשרת הראשונה) ובסוג הפעולה (ייצוג של פעולת חיסור קשה מזה של פעולת חיבור).

ידע של תלמידים בזיהוי מספרים המיוצגים במערכת מוחשית נבדק בהתייחס לארבע תכונות של המערכת: כמות, צבע, גודל קוביות ופיזור במרחב. נמצא, כי רוב ילדי הגן ותלמידי כיתה א' מתייחסים אל כמות הקוביות כתכונה מהותית לייצוג המספרים. לגבי תכונת צבע הקוביות נמצא שכמחצית מתלמידי כיתה א' מתייחסים אליה כתכונה מהותית בייצוג מספרים, זאת לעומת ילדי הגן  אשר אינם מתייחסים לתכונה זו כתכונה מהותית של המספר. פיזור הקוביות וגודלן נתפסו כתכונות לא רלוונטיות לייצוג המספר בשתי הקבוצות.

ידע של תלמידים בזיהוי תרגילים המיוצגים במערכת מוחשית, נבדק באמצעות ייצוג תרגילים עם קוביות בשני אופנים: האחד מדגיש את המבנה המושגי של המספרים, כאשר הפעולה מיוצגת באופן סטטי, והשני מדגיש את האופי התהליכי של המספרים ואת האופי הדינאמי של הפעולה. נמצא כי בכיתות א' רוב  התלמידים מזהים את התרגילים וכי אופן הייצוג אינו משפיע על רמת הידע. בקרב ילדי הגן, רמת הזיהוי היתה נמוכה מזו של תלמידי כיתות א' ולעומתם, בגן רמת הידע בזיהוי תרגילים בהם מוצגת הפעולה באופן דינאמי היתה גבוהה  יותר מאשר בתרגילים בהם הפעולה מיוצגת באופן סטטי.

בייצוג מספרים ותרגילים במערכת ייצוג גראפית נמצא כצפוי, שתלמידי כיתה  א' יודעים לכתוב מספרים בגבול ה- 20 ורובם יודעים לכתוב תרגילי חיבור וחיסור עם מספרים בגבול ה- 20. בקבוצה זו שיבושי כתיבת התרגילים היו בכיוון כתיבת התרגיל (תלמידים ששגו כתבו את התרגיל מימין לשמאל ולא כמוסכם, משמאל לימין). לעומתם ילדי הגן התקשו בכתיבת מספרים. נמצא כי הגורמים המשפיעים על רמת הקושי של כתיבת המספרים הם רמת מורכבות של עיצוב המספר וידע על ערך מקום הספרה במספר. 

בבדיקת ידע התלמידים בזיהוי סמלים של מספרים לא נמצא הבדל בין ילדי הגן לתלמידי כיתות א'. רוב הנבדקים מזהים סימן של ספרה אחת, ספרות שונות וספרות חוזרות כסמלים של מספרים. רובם לא מקבלים סמלים המופיעים בסביבת מספרים וסימנים איקונים כסמלי מספרים, אולם כאשר סמלי המספרים מופיעים יחד עם סימנים אחרים, כמחצית מהתלמידים מזהים ייצוגים אלה כסמלי מספרים.

בדיקת ידע תלמידים בזיהוי ייצוג של סמלים כתובים של תרגילים העלתה כי תלמידים בגן ובכיתה א' מכירים את הייצוג המוסכם של תרגילי החיבור והחיסור בהם סימן השיוויון מופיע מימין לפסוק. אולם אפשרויות ייצוג אחרות כגון, ייצוג בו סימן השיוויון מופיע משמאל לפסוק, ייצוג של תרגיל חיבור רב מחוברים ותרגיל חיבור במאונך, מוכרים פחות.

רוב התלמידים בכיתה א' ערים לצורך בנוכחות של סמלי המספרים, הפעולות והשיוויון וכן לסדר כתיבתם בתרגיל. לעומתם ילדי הגן, אינם מכירים את סדר כתיבת הסמלים וערים יותר לנוכחות סימן הפעולה לעומת סימן השיוויון.  

השלכות תאורטיות ומעשיות

לממצאים שתוארו השלכות תיאורטיות ומעשיות. ממצאי המחקר מצביעים על כך שיש מקום להרחיב את ההבחנה הקיימת בנושא הייצוגים, בין סמלי הייצוג לבין  מודל הייצוג, ולהתייחס  ל"עוצמת הסמל" ול"עוצמת המודל". במונח "עוצמת הסמל" הכוונה היא למידת הבולטות או המורכבות של תכונות הסמל. לדוגמה, במערכת המוחשית הבולטות של תכונת הצבע מאפילה על ההתייחסות לתכונת הכמות ובמערכת סמלי המספרים כיוון כתיבתם מקשה על הפקתם. במונח "עוצמת המודל" הכוונה היא למספר החוקים במודל ומידת המורכבות בהפעלת חוקים אלה.

שימוש במונחים אלה יאפשר מחקר שינתח מערכות ייצוג על פי מדדים כאלה. ניתוח כזה יאפשר הבחנה נוספת בין מערכות הייצוג, מיונם ודרוגם.  במצב כזה יהיה בידי המורים כלי נוסף לשיפוט ולהערכת שיקוליהם בבחירת מערכות הייצוג בתהליך ההוראה.

תרומה נוספת של המחקר קשורה בממצאים המחזקים את הגישה התומכת בקדימותה של התפתחות התפיסה התהליכית של מושגים מתמטים על פני התפיסה המושגית. ביטויים לכך נצפו באופן ייצוג המספרים והתרגילים בקרב ילדי הגן כמו גם באופן הזיהוי שלהם.

ממצאי המחקר מצביעים גם על כך שהידע על סמלי הייצוג ועל מודל הייצוג שלהם אינם מופיעים במקביל. ממצא זה יש בו כדי להציע מחקר המשך אשר יבדוק היבטים התפתחותיים הקשורים בנושאים אלה. כמו כן, יש מקום להמשיך לבדוק את הקשר המתפתח בין ידע בהפקת סמלים וזיהויים לבין ייחוס המשמעות המתמטית המתאימה כמו, למשל, זו של סמלי הפעולה והשיוויון. 

ההשלכות החינוכיות הנובעות מממצאי מחקר זה מתקשרות לצורך בפיתוח תכניות לימודים לילדים בגן חובה, תכניות אשר יעודדו כתיבה מתמטית תוך הדגשת ההבחנה בין הכרת הסמלים לבין חוקי כתיבתם, חשיפה לסמלים של מספרים מעבר לגבול ה- 10 ולאופנים מגוונים של  כתיבת תרגילים.

אשר להוראת חשבון בכיתה א', נראה כי יש לבחון את מידת ההתאמה בין הידע הבלתי פורמלי על מערכות המדגימות מספרים ותרגילים, עמו מגיעים ילדי הגן לבית הספר לבין המערכות בהן משתמשים בתהליך הוראה פורמלי בראשית לימוד החשבון. הידע על מערכות מדגימות של מספרים ותרגילים ועל מורכבות פעולות התרגום הנדרשות במערכות אלו, עשוי להשפיע על השיקולים בבחירת המערכות המדגימות  וכן על תהליך הוראת החשבון בגן ובבית הספר.