חינוך לחשיבה אוריינית בפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה
מאת: בת שבע אילני , ברוריה מרגולין
מילות מפתח:
אסטרטגיות למידה
בעיות מילוליות במתמטיקה
דפוסי התמודדות
דרכי הוראה
דרכי התמודדות
הוראה משמעותית
הוראת אלגברה
הוראת חשבון
לשון עברית
מודלים מנטלים
מתמטיקה
פתרון בעיות
מקור: "בין לשון למתמטיקה – חינוך לחשיבה אוריינית בפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה", דפים מס' 45, תשס"ח 2007, ע"ע 114-139.
תקציר
בבואנו לפתור בעיות מילוליות במתמטיקה, בעיות המלוות בטקסט, עלינו לגשר בין השפה המתמטית, המחייבת את ראיית הרכיבים המתמטיים, לבין השפה הטבעית, המחייבת התייחסות אוריינית לטקסט השלם. במאמר זה מציגות המחברות דוגמאות לבעיות מילוליות במתמטיקה, שבהן הפתרון תלוי במעבר לסיטואציה הלשונית לסיטואציה המתמטית. מחברות המאמר מציעות מודל הוראה-למידה בן תשעה שלבים, המקשר בין הסיטואציה הלשונית מצד אחד לבין המבנים המתמטיים המופשטים מהצד האחר. מודל הוראה-למידה זה מציע תהליך אינטראקטיבי ורב-שלבי, המאפשר פענוח של הטקסט המתמטי והפקת משמעות ממנו באמצעות פענוח סמלים גראפיים, הבנת התוכן הגלוי, הבנת הסיטואציה הלשונית, מעבר למודל מתמטי והתאמה בין הסיטואציה הלשונית למודל המתמטי המתאים. המחברות ממליצות להשתמש במודל הוראה זה הן לתלמידים בכיתות הגבוהות של בית הספר היסודי והן לתלמידים בחטיבת הביניים ובחטיבה העליונה. כמו כן, השימוש במודל ההוראה-למידה מומלץ למורים ולסטודנטים בהכשרתם להוראה כדגם להוראה של פתרון בעיות מילוליות. עבודה הדרגתית של הבעיות המילוליות הפשטות, תסייע לתלמיד להתמודד עם בעיות מורכבות יותר בעתיד.
עיקרי מודל ההוראה –למידה לפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה
במאמר מציגות המחברות מודל הוראה בן תשעה שלבים לפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה:
א. קריאת הבעיה
השלב הראשון – איסוף הפרטים – יש לקרוא את הבעיה "מלמטה למעלה" (bottom-up) כשהמטרה היא חשיפת המשמעות בטקסט. תהליך הקריאה הוא תהליך מצטבר, מן היחידות הקטנות ביותר (המילים) ועד ליחידה הגדולה ביותר (הטקסט השלם).
ב. הבנת הסיטואציה הלשונית
השלב השני – שלב "החימום" – קריאת הבעיה פעם נוספת תוך כדי גישוש רב-כיווני בדרך של "סיעור מוחין" (brain-storming ). בשלב זה הקורא ישאל את עצמו שאלות אחדות:
1. האם כל המילים ברורות?
2. האם כל המשפטים ברורים?
3. מהן מילות המפתח?
4. האם מילות המפתח מובנות?
5. מה השאלה?
6. האם השאלה מובנת?
7. כיצד אוכל לתאר במילים שלי את הבעיה?
ג. הבנת הסיטואציה המתמטית
מחברות המאמר מגדירות "סיטואציה מתמטית" כהקשר המתמטי של הבעיה, המתייחס לשני סוגים של מידע: נתונים ושאלה. הנתונים הם כל הביטויים שאנו מניחים כי קיימים בבעיה. הם יכולים להופיע בצורה מפורשת או סמויה. הנתונים המפורשים הם אלה המוזכרים בטקסט, ואילו הנתונים הלא מפורשים הם האקסיומות, המשפטים ועובדות סמויות שאפשר להשתמש בהם לשם פתרון הבעיה. השאלה מכוונת לביטוי שרוצים למצוא.
כדי להבין את הסיטואציה המתמטית קיים צורך לבחון את הנתונים ואת השאלה ולהבין היטב במה מדובר. אפשר להיעזר במקרה הצורך בפירוק, בהדגמה, בתרגול ובהמחשה. בשלב הראשון אפשר לפרק את הבעיה הנתונה לנתונים גלויים ולנתונים סמויים ולשאלה, ובשלב השני ניתן להדגים את הבעיה במקרים פרטיים ולפרש אותה באמצעות ציור, טבלה, תרשים או גרף, היכולים לעזור לפשט אותה.
פותר הבעיה צריך לזהות את העובדות הידועות ואת התנאים הלוגיים-מתמטיים של הבעיה, כלומר, את הקשרים ואת היחסים בין הנתונים המתמטיים של הבעיה ובין הניתוח הלוגי שלה, למשל, הקשרים בין אלמנטים הלקסיקליים שהם שמות העצם הקשורים לכמתים מספריים בפסוקים השונים של הטקסט, יחסי הזמן והמרחב שבין העצמים או האירועים המופיעים בטקסט והיחס הסמנטי בין האלמנטים הלקסיקליים שהם הפעלים המופעים בפסוקים השונים של הטקסט, יחסי הזמן והמרחב שבין העצמים או האירועים המופיעים בטקסט והיחס הסמנטי בין האלמנטים הלקסיקליים שהם הפעלים המופיעים בפסוקים השונים של הטקסט (נשר, 1976, Hershkhovitz & Nesher , 1996 , Nesher & katriel , 1977 ).
בשלב זה הקורא ישאל את עצמו את השאלות:
1. מה היחס שלי לנושא המתמטי של הבעיה?
2. האם יש קושי בבעיה?
3. האם כל הנתונים ברורים?
4. האם יש נתונים סמויים בבעיה?
5. האם יש נתונים מיותרים?
6. האם אני מבין את הקשר בין הנתונים לשאלה?
7. האם אפשר להדגים את הבעיה במקרים פרטיים
ד. התאמת הסיטואציה המתמטית לסיטואציה הלשונית
בשלב זה יש לקרוא את הבעיה פעם נוספת "מלמעלה למטה" (top-down ). הפעם פעולת הקריאה היא החלת סכמות מתמטיות על הטקסט, כשמיקום המשמעות הוא סכמות הידע של הקורא. תהליך הקריאה בשלב זה הוא תהליך המצטבר מן החיבור של סכמות הידע במתמטיקה לסכמות של הטקסט.
סכמה היא סוג של ייצוג מנטאלי, המאופיין ברשת יחסים פנימית יציבה, הנוצרת ברמה גבוהה של הפשטה או הכללה ומשמשת כתבנית (template) שמשתמשים בה כדי לפרש מאורעות ספציפיים. הסכמה היא תבנית של פעולה (Piaget, 1980 ) המאפשרת לבעליה לפעול באותם מצבים באופן עקבי כמתוך הרגל, ועם זאת יש לה אופי דינאמי המאפשר לה להתרחב למצבים חדשים.
במצב של רכישת סכמה הלומד פוגש מקרים חדשים ומתמודדים אתם לפי הסכמות הקודמות שלו, הקשורות לאותו עניין. הלומד מצפה להתרחשות או לתוצאה מסוימת. אם ההתרחשות תואמת את ציפיותיו, חלה הרחבה של הסכמה הקיימת אצלו, ואם לאו, חלה הפרה היכולה לגרום לשינוי הסכמה ולרכישת סכמה חדשה. בשלב זה נזקק הפותר לעיבוד האינפורמציה המילולית לצורך הפיכתה לתרגיל מתמטי או למשוואה אלגברית תוך התמקדות במבנה התחבירי ובמבנה הסמאנטי של הבעיה.
בעיית עיבוד האינפורמציה הדרושה לשם פתרון בעיה מילולית היא אחד הקשיים העיקריים בפתרון בעיות מילוליות במתמטיקה. עיבוד האינפורמציה המילולית לצורך הפיכתה לתרגיל מתמטי או למשוואה אלגברית נעשה באמצעות הבנת "הרמזים המילוליים", כלומר, המילים המסייעות (רמזים עוזרים) או המטעות (רמזים מטעים) כרמזים לבחירת הפעולה החשבונית הדרושה לפתרון הבעיה, למשל השימוש במילים "יותר", "פחות".
בשלב זה הפותר ישאל את עצמו ארבע שאלות:
1. האם שמות העצם בשאלה מופעים בה שוב בתוך מחלקה מכלילה יותר? (למשל: נתונים "תפוחים" ואחר כך שואלים על "פירות", וחשוב שפותר הבעיה יבין שתפוח הוא פרי).
2. האם האוגדים המופעים בשאלה מתייחסים לגדלים מתמטיים שונים זה מזה? (למשל אם מספר מסוים הוא 7 והמכפלה היא X , מהו המספר הכופל?).
3. האם יש "רמזים מילוליים" בבעיה, כלומר, מילים מסוימות המסייעות כרמז לבחירת הפעולה החשבונית הדרושה לפתרון הבעיה?
4. האם אפשר להדגים את הבעיה באמצעות ציור, טבלה. תרשים או גרף?
ה. העלאת רעיונות לפתרון
לפתור בעיה פירושו למצוא סדר של צעדים, החל במצב הנתון (בבעיה) ועד למטרה המיוחלת, כך שכל צעד מתקבל מקודמו על ידי פעולה לוגית המותרת ב"עולם הבעיה הנתונה". התהליך המוביל לפתרון בעיות קשור בבחירה הולמת, כלומר בחיפוש אחר השיטה, רעיון, צעדים, דרך (ארבל, 1990). לפני שניגשים לפתרון בעיה יש צורך לחקור אותה בדרכים שונות (Schoennnfeld , 1980 ). כדי להפוך את החיפוש לשיטתי חייבים להכיר אסטרטגיות לפתרון בעיות, הן אסטרטגיות כלליות והן אסטרטגיות המיוחדות לסוגים שונים של בעיות.
בדרך כלל תלמידים בכיתות הגבוהות של בית הספר היסודי, בחטיבת הביניים ובחטיבה העליונה מתמודדים עם בעיות הדומות לבעיות שפתרו בעבר. משם כך לפי פויה (1961), באה השאלה: האם אתה מכיר בעיה הדומה לזו שלפניך?
בשלב הזה יתלבט הלומד בשאלות:
1. האם הבעיה ייחודית?
2. האם נתקלתי בבעיות דומות?
3. האם אפשר לבנות סכמה לפתרון הבעיה על סמך ניסיון העבר?
ו. ניפוי רעיונות
לאחר העלאת הרעיונות השונים לפתרון הבעיה יש לבדוק כל אחד מהם, אם הוא אכן מסייע לפתור את הבעיה. יש לנפות רעיונות שאינם מסייעים ולהשאיר רעיונות רלוונטיים בלבד. פעמים רבות תלמידים מציעים רעיונות אחדים, והשימוש בשאלות בשלב זה ממקד אותם, כפי שעולה מחקר המקרה בסעיף היישום:
בשלב זה ישאל הלומד שתי שאלות:
1. האם הרעיון עוזר לי לפתור את השאלה?
2. כיצד הרעיון עוזר לי לפתור את השאלה?
ז. בניית מודל מתמטי
כותבות המאמר מגדירות בנייה של מודל מתמטי כבנייה של ייצוגים בשפה המתמטית, כמו תרגיל או משוואה.
בשלב הזה יעלה הלומד את השאלות:
1. מה אעשה בשלב הראשון כדי לפתור את הבעיה?
2. האם אני יודע כיצד לפתור את הבעיה ולבנות מודל מתמטי מתאים?
3. באיזה מודל מתמטי אשתמש לפתרון הבעיה?
באמצעות פעולה אינטראקטיבית של הפעילויות האלה: הגדרת הבעיה והבנת הסיטואציה שהיא מתארת, בניית מודל מתמטי של היסודות המתמטיים הרלוונטיים בבעיה, הבנת היחסים והתנאים הכרוכים בבעיה ושימוש במודל המתמטי, יבנה הלומד סכמה המציגה את מערכת הקשרים שבין הידע הקודם לבין הסכמות של הטקסט המתמטי.
ח. מציאת הפתרון
לאחר שמצאנו את המודל המתמטי, יש להחיל אותו ולהגיע אל הפתרון המיוחל. חשוב לבדוק אם זהו הפתרון היחיד, שכן ייתכן שיש יותר מפתרון אחד, ויש למצוא את כל הפתרונות האפשריים לבעיה.
בשלב הזה הלומד ישאל את עצמו שתי שאלות:
1. האם זהו הפתרון היחיד?
2. מהם כל הפתרונות האפשריים לבעיה?
ט. בקרה
יש לבדוק אם פתרון הבעיה אכן מתאים לבעיה עצמה, כלומר, יש לחזור אל הבעיה המקורית, לקרוא אותה שוב ולבדוק:
1. האם הפתרון הגיוני
2. האם הפתרון מתאים לסיטואציה הלשונית?
3. האם הפתרון מתאים לסיטואציה המתמטית?
4. האם המודל המתמטי שהשתמשתי בו מתאים לבעיה?
שלב זה הוא חשוב ביותר, כי פעמים רבות נראה לנו שמצאנו את הפתרון, אך הפתרון אינו הגיוני (לדוגמא: קיבלנו 2.2 אנשים), ואז צריך לחזור על כל התהליך. כדאי לבחון את הפתרון ולבדוק את כל המהלכים שהובילו אליו.
חשוב לציין שבכל בעיה מילולית יש צורך לעבור על כל השלבים, אבל לומדים שונים צריכים להתמקד בשלבים שונים (מאחר שחלק מהשלבים נעשים כבר "אוטומאטית"). בזמן ההוראה יש לטפל כל פעם בשלב אחר, לאתר שלבים שבהם יש קושי ספציפי ללומדים שונים ולהתמקד בהם.
בחינת יישום מודל ההוראה-למידה – שני חקרי מקרה
בחינת המודל שהוצע לעיל נעשתה בשני מקרים: במקרה של סטודנטית להוראת מתמטיקה ממכללה להוראה במרכז הארץ, ובמקרה של תלמידה מכיתה ט' הלומדת מתמטיקה. מחברות המאמר ניסו ליישם את המודל המוצע במאמר הן בבעיות מילוליות המלוות בסיפור רקע אותנטי והן בבעיות מתמטיות מילוליות שאינן מלוות בסיפור רקע. כותבות המאמר בחרו גם בבעיות המילוליות מן הסוג השני בשל הצורך של התלמידה מכיתה ט' להתמודד דווקא עם בעיות מהסוג הזה.
סיכום
במאמר זה ניסו הכותבות להראות כיצד ניתן לגשר על הפערים בין השפה הטבעית לבין השפה המתמטית בפתרון בעיות במתמטיקה באמצעות מודל הוראה, שבעזרתו הנמען מעבד את הטקסט עיבוד קוגניטיבי. תהליך עיבוד הטקסט המילולי של הבעיה המתמטית הוא רב-שלבי, ומחייב ביצוע פעולות קוגניטיביות: פענוח סמלים גראפיים, הבנת התוכן הגלוי, הבנת הסיטואציה הלשונית, מציאת מודל מתמטי והתאמה בין הסיטואציה הלשונית למודל המתמטי המתאים.
מודל ההוראה- למידה המוצע במאמר הוא תהליך מטא-קוגניטיבי התורם להמשגה של הלמידה (Nastasi & Clements, 1990 ). ידיעת התהליכים המטא-קוגניטיביים מסייעת לפותר הבעיות ומשפרת את יכולתו בהשגת המטרה (קאפח, 2002).
מודל ההוראה –למידה שמציעות המחברות מתאים הן לתלמידים בכיתות הגבוהות של בית הספר היסודי, הן לתלמידים בחטיבת הביניים ובחטיבה העליונה והן לסטודנטים להוראה.
השימוש המושכל במודל ההוראה-למידה המוצע יעזור גם להכשרתם של סטודנטים להוראה הן בתהליך ההכשרה שלהם והן בהתנסותם בהוראה.
הכרת המודל תאפשר למורה המתחיל להבין שהמודעות המטא-לשונית, המודעות התחבירית והסמנטית והמודעות לסכמות המתמטיות הכרחיות לפתרון בעיות במתמטיקה. נוסף על כך, דרך ניסוח הבעיות והתאמתן למציאות יכולות להשפיע במידה ניכרת על יכולות התלמידים לפתור אותן.
yyya
אני לא עוסק בכתבות,וסיפורים אצלי הניסיון מדבר. לקבל תלמיד עם ציון 40 במתמטיקה לאחר שעבר אין ספור מורים פרטיים ולהפוך אותו למצטיין עם ציון 100 בבגרות הדגש הוא על חשיבה ולא על פתרון
היה נחמד לראות לראות דוגמא מעשית עם הדגמה לכל שלב.תודה
שלום לכם,אשמח לקבל דוגמה יישומית, לדוגמה: מפתרון בעיות תנועה, או סדרות (חשבונית או הנדסית).