השיחה המתמטית – שיח אחד או יותר?

מקור: כנס ארצי: הכשרת מורים למתמטיקה לבית הספר היסודי, מכללת אורנים: היחידה למחקר ולהערכה, ב' באדר, 4.2.03, תשס"ג.

רקע תיאורטי

המחקר הנוכחי עוסק בשיחות מתמטיות המתנהלות בבית הספר היסודי ומבקש לבחון את תכני השיחות הללו ולמפותן במטרה לשפר את הנחייתן. בשני העשורים האחרונים נוטים אנשי הוראת המתמטיקה לבסס הוראתם על השילוב של תפיסותיהם הקונסטרוקטיביסטיות של פיאז'ה וויגוצקי לפיהן ילדים לומדים מתמטיקה בדרך של הטמעת והתאמת נתוני הסביבה הנקלטים אצלם והטמעתם למבנה ההכרתי הקיים. תהליכי ההתאמה וההטמעה כרוכים בבנייה, הרחבה ושיכלול של הסכמות המייצגות את המציאות החיצונית (והפנימית) בתודעה. תהליכים אלו נעשים תוך מגע ישיר עם הסביבה, ובאמצעות שיח עם עמיתים ומומחים ושיתוף פעולה עם אמצעים פיזיים וטכנולוגיים.

מה היא הבנה מתמטית רלציונית?
סקאמפ (1991) מדבר על החשיבות שבבניית הבנה מתמטית רלציונית, הבנה הצומחת מתוך התמודדות עם בעיות ופתירתן תוך פענוח ההיגיון שמאחוריהן, לעומת הבנה אינסטרומנטלית, שהיא פרי למידה "משחזרת" של נוסחאות והצבת נתונים בתוכן, תוך תרגול. ההבנה מן הסוג הראשון דורשת לרוב זמן רב יותר, היא תהליכית ומתמשכת, אך פירותיה ייקטפו לאורך זמן, כאשר הלומד מצמיח דרכי עבודה וחשיבה, יותר מאשר הוא לומד נוסחאות או דרך ספציפית לפתרון. ההבנה האינסטרומנטלית ניתנת בד"כ להשגה בזמן קצר יותר, אך מבוססת על בניית כישורים טכניים, תואמי מצבים ספציפיים, ואינה מובילה לבניית דרכי חשיבה (סקאמפ, 1991, בתוך רגב ושמעוני, 2000).

השיחה המתמטית כדרך הוראה מובילה בבית הספר היסודי
תפיסות אלו ואחרות הובילו להכנסת השיחה המתמטית כדרך הוראה מובילה בבית הספר היסודי ובחטיבת הביניים. בשיחה זו מועלות בעיות מתמטיות הזוכות לליבון בין הילדים לבין עצמם בהנחיית או ללא הנחיית המורה. הסטודנטים להוראת המתמטיקה נדרשים אפוא ללמוד כיצד ללמד מתמטיקה באמצעות שיחות מתמטיות. ניתן לאמור, כי רוב פרחי ההוראה התנסו, בעברם בבית הספר, בלמידת מתמטיקה מן הסוג המצמיח "הבנה אינסטרומנטלית". דרך ההוראה המקובלת הייתה ועודנה, בחלק מן המקרים, דרך של הדגמה, הסבר ותרגול. המורה היה בדרך כלל רושם תרגילים ובעיות על הלוח, מדגים כיצד לפתרם, מסביר ובמקרה הטוב גם מוכיח במפורט את הנוסחאות ו/או את הטיעונים לפתרון, קורא לכמה תלמידים להדגים אף הם את דרכי הפתרון הנכונות ונותן מספר תרגילים או בעיות לתרגול בכיתה ואחרים-נוספים לתרגול בבית. ברוב המקרים הבחינות כוללות תרגילים ובעיות אשר הודגמו בכיתה ואינן דורשות התמודדות עם שאלות חדשות. המכסימום שנדרש היה אקסטרפולציה (חיצון) על פי מונחיו של בלום, כלומר, יישום ידע הפתרון על תרגיל או בעיה דומה. אפליקציה (יישום) של ממש, היינו, הבנת העקרונות והיכולת להשתמש בהם במערכת אחרת, כמעט לא נדרשו. הוראה כזו דורשת מן המורה להכין בביתו את הדוגמאות שיציג בכיתה ואת השאלות/תרגילים לתרגול בכיתה ובבית. התלמידים נדרשים איפה, להראות יכולת ללמוד בעל פה את הנוסחאות לפתרון תרגילים או בעיות, לדעת להציב בהם מספרים או לבצע את הפעולות הנדרשות כמעט באופן אוטומטי, והעיקר להגיע לפתרון הנכון. פתרון שגוי פירושו היה כמעט תמיד כישלון, גם אם הדרך נכונה. לרוב יש העדפה לדרך אחת לפתרון כל בעיה או תרגיל, זו היעילה יותר, אשר הוצגה כ"דרך הנכונה".

פרחי הוראה שלמדו בדרך זו במשך שנים וממשיכים ללמוד בדרך זו בין כתלי המכללה, בחלק משיעורי המתמטיקה, מתקשים לתפוס כיצד ללמד בדרך של הנחיית שיחות מתמטיות. חלק מן הקושי נובע מן התחושה, כי בהנחיית שיחה מתמטית רב הבלתי צפוי על הצפוי, קשה לדעת מה בדיוק להכין ואיך להתכונן מלבד ההחלטה אלו בעיות ניתן ורצוי להציג ללומדים.

שני המחקרים שיוצגו להלן הם חלק משרשת של מחקרים, שמטרתם לפעול לשיפור הדרכת פרחי הוראה להוראת המתמטיקה בבית הספר היסודי, בדרך של הנחיית שיחות מתמטיות.
שני המחקרים הללו מבקשים לבחון מה הם סוגי השיח הנמזגים בתוך השיח המתמטי ואם ניתן לשפר את איכות השיח המתמטי (פוריותו) על ידי הבאת מנחי השיח, למודעות לסוגי השיח השונים ולמשקלם היחסי בתוך השיחה המתמטית.

השיטה

ב.1. מערך

בחינת שאלות המחקר נעשתה על ידי שתי חוקרות; מדריכה מתודית להוראת המתמטיקה ופסיכולוגית קוגניטיבית. שאלות המחקר נבחנו במהלך שני מחקרים איכותיים שנערכו ברצף. מטרת המחקר הראשון הייתה לבחון אלו סוגי שיח נמזגים אל תוך השיחה המתמטית הנערכת שבשדה ומה הם מרכביה. מטרת המחקר השני הייתה לבחון האם הבאת המתמחות בהוראת המתמטיקה למודעות לחלקי השיח המתמטי אשר הן מנחות בפועל, תוביל לניצול טוב יותר של זמן השיח, כלומר להקדשת רוב רובו של השיח לפיתוח חשיבה והבנה מתמטית ולפתרון בעיות במתמטיקה.

ב. 2. מחקר א'

נסקרו עשרים שיחות מתמטיות שנערכו בכיתות ד'-ה' בבית הספר היסודי, בנושאים מתמטיים שונים, מהן ארבע שיחות שהונחו על ידי מדריכה להוראת המתמטיקה, ושש עשרה שיחות שהונחו על ידי סטודנטיות מתמחות בהוראת המתמטיקה בבית הספר היסודי, בשנתון ג'.

השיחות נותחו על פי גישת התיאוריה המעוגנת בשדה (גלייזר, 1978 שטראוס וקורבין, 1990, גבתון, 2001). יחידת הניתוח הבסיסית הייתה קטע שבו מתחיל ומסתיים רעיון.

השיחות נותחו פעמיים: פעם בחיפוש אחרי התכנים, היינו: זיהוי קטגוריות תוכן ופעם נוספת בחיפוש אחרי חלקי תהליך פתרון הבעיות, היינו: זיהוי היוריסטיקות לפתרון בעיות.

ב. 3. מחקר ב'

נסקרו מקבצי שיחות שהונחו על ידי סטודנטיות בהתמחות מתמטיקה בשנתון ג' במכללת לוינסקי. השיחות הונחו בכיתות ד' בנושא "חקר נתונים", תחום חדש בתוכנית הלימודים המוצעת במתמטיקה לבית הספר היסודי: שש שיחות עוקבות שהונחו על ידי סטודנטית אחת וחמש שיחות עוקבות אשר הונחו על ידי סטודנטית אחרת מאותה כיתת התמחות במכללה.

טרם הנחיית השיחות למדו הסטודנטיות להבחין בסוגי השיח השונים המעורבים בשיחה המתמטית, (סוגים אשר זוהו במהלך המחקר הראשון) והתנסו בניתוח שיחות על פי הבחנה זו.

ממצאים

ג. 1. מחקר א' – הבחנת סוגי השיח

במחקר הראשון, בניתוח השיחות, זוהו חמישה סוגי שיח: שיח ארגוני, שיח חברתי, שיח מתמטי-ביצועי, שיח מודל ושיח מטא-קוגניטיבי. במושג "שיח" אנו מתייחסות לדיבור בין אנשים (במקרה זה מורה-מנחה ותלמידים), שבמהלכו מוחלפים ומתהווים רעיונות בנושא מסוים, במסגרת תחום בעל תרבות שיח משלו, שיש בו זיקות בין חשיבה ופעולה. השיח הארגוני והחברתי הנמהלים לעתים זה בזה מיועדים לארגון המערך שבו מתנהלת השיחה המתמטית ברמה הלוגיסטית וברמה החברתית, וכך לאפשר או להקל על התהוות השיח המתמטי.

בשיח הארגוני המורה דואגת להיערכותם של התלמידים מבחינת מיקומם הפיזי, הכנת החומרים הדרושים וארגון המרחב המתאים. לדוגמה:

מורה: יש לכם דפים לבנים אם תצטרכו, יש לכם גם את זה למי שיזדקק

 (מניחה סלסלה מלאה עיגולים בפינת השולחן)

 (הילדים מתחילים לפתור)

מורה: אני רוצה שתרשמו את הכול בבירור..."...

בשיח החברתי המורה והילדים דואגים לתיעול היחסים החברתיים במהלך השיחה על מנת למקדה בפתרון הבעיות ולמזער "הפרעות" חברתיות. לדוגמה:

מורה: בוקר טוב, מה שלומכם?; תלמידים:: בסדר; מורה: מי זוכר מה עשינו אתמול, רוני את לא היית, נכון? איך את מרגישה היום?

השיח המתמטי-ביצועי משתמש במספרים, בצורות, בגופים ובמילים בדרך לפתרון הבעיות המתמטיות. לדוגמה:

מורה: אני רוצה שתפתרו את התרגיל  

  37 X 4  (ארבע X שלושים ושבע).

 בכמה שיותר דרכים שאתם יכולים.

תלמיד: אני כתבתי בפילוג אז כפלתי כל אחד מהאברים: עשרים עשר ושבע.

עשרים ושמונה ועוד ארבעים ועוד שמונים שווה מאה ארבעים ושמונה

מורה: יופי, מי רוצה להציע דרך אחרת

שיח המודל מופיע בשיחות המתמטיות רק כאשר נעשה שימוש במודל מוחשי על מנת להקל הבנת החוקיות המתמטית. בחרנו להבחין את שיח המודל מן המתמטי-ביצועי מאחר שהוא מתאפיין בשימוש בשפה נוספת על שפת המספרים והשפה המילולית- סימבוליים מוחשיים. לדוגמה:

מורה: ציירו וכתבו את השבר שלוש חמישיות איך יודעים כמה חלקים לצבוע?

  מספר החלקים השווים הצבועים

  מספר החלקים השווים =

תלמיד:

 השיח המטא-קוגניטיבי העוסק בניתוח תהליכי החשיבה שהתנהלו בשיח המתמטי ובהערכתם. לדוגמה:

מורה: התרגיל הוא שבע כפול שלושים וארבע. חשבו, נסו להגיע לפתרון ותגידו לנו כיצד חישבתם; תלמיד:: שלוש כפול שבע ועוד ארבע כפול שבע; מורה: האם זה נכון, לא נכון, מדוע?

תלמיד: נראה לי שאיך שחיברתי זה לא נכון, אבל אני לא יודע למה;

 מורה: מה דעתכם?

בניתוח סוגי השיח בלטו התופעות הבאות:

כל השיחות הופיעו לפחות ארבעה מסוגי השיח שצוינו: חברתי, ארגוני, מתמטי-ביצועי ומטא-קוגניטיבי ובשיחות אשר ערבו מודל מוחשי הופיע כמובן גם שיח המודל.
השיחות נבדלו זו מזו במשקלם היחסי של סוגי השיח.
בשיחות אשר הונחו על ידי המדריכה להוראת המתמטיקה בלט מקומו של השיח המטא-קוגניטיבי.
שיחות שבהן מילאו השיח הארגוני והשיח החברתי מקום רב התקשו להגיע ליעדן; היינו פתרון מלא של הבעיות המתמטיות.

 ג. 2. מחקר ב'- הזיקה בין המודעות לסוגי השיח ומשקלם היחסי בשיחה

 • בשיחות שנערכו על ידי הסטודנטיות ואשר עסקו ב"חקר נתונים" בכיתה ד', עם ההתקדמות מן השיחה הראשונה ועד לאחרונה, ירדה באופן ניכר כמות השיח החברתי והארגוני ועלתה כמות השיח המתמטי והמטא-קוגניטיבי.

• העלייה בכמות השיח המתמטי-ביצועי והמטא-קוגניטיבי לא הראתה בהכרח על עליה באיכות השיח. הסטודנטיות אמנם השתמשו יותר בהנחיות למטא-קוגניציה, כגון: "איך הגעתם לרעיון? ", "הסבירו מדוע עשיתם כך? " וכיו"ב, אך לעתים חסרה הנחייה שיש בה את הלכידות הרעיונית הדרושה על מנת לבצע את פעולות החשיבה המתאימות בדרך לפתרון הבעיות.

דיון

במחקר הראשון זוהו, מתוך התבוננות במתרחש בשדה, חמישה סוגי שיח: ארגוני, חברתי, מתמטי-ביצועי, מודל, ומטא-קוגניטיבי. יש לזכור כי השיחה המתמטית מתקיימת במרחב למידה, שיש לו, בנוסף לאקלים האינטלקטואלי המאופיין על-ידי טיעונים והנמקות, גם ממדים פיזיים-חומריים, טכנולוגיים וחברתיים.

מן המחקר הראשון שלהלן מצטיירת התחושה, כי ייתכן שמנחי השיחות הפחות מנוסים מרבים לנהל שיח ארגוני-חברתי מתוך חוסר ביטחון וחשש להתמודד עם השיח המתמטי גופא. בניהול שיח זה הם מבטלים זמן שיעור רב ויקר בטרם החלו לעסוק במתמטיקה ובפיתוח נורמות סוציו- מתמטיות, המאופיינות בהסברים הנתמכים בנימוקים מתמטיים, ביצירת קשרים מתמטיים בין אסטרטגיות ובטיפול בשגיאות כהזדמנות לפיתוח רעיונות מתמטיים.

 מן המחקר השני מתברר, כי העלאת חלקי השיחה למודעותם של מנחיה עשויה לשפר את היחס שבין חלקיה הלא-מתמטיים לחלקיה המתמטיים. יחד עם זאת, אין בכך ערובה מלאה לשיפור איכות השיחה בהשגת יעדיה- הגעה להבנה רלציונית, תוך מציאת דרכי פתרון יעילות ופתרונות נכונים לבעיות המוצגות.

הערות:

[1] איכות השיח המתמטי, כפי שהובחנה בניתוח השיחות: המידה שבה מתהווה בו מרחב חשיבה מתמטי המאפשר העלאת טיעונים חלופיים, דיון מושכל בטיעונים, למידה מטיעונים "נכונים" ו"לא נכונים", הגעה לפתרונות, הבחנה באיכויות של הפתרונות והפקת העקרונות "מאחורי" הפתרונות.

ביבליוגרפיה

 גבתון, ד. (2001). תיאוריה המעוגנת בשדה: משמעות תהליך ניתוח הנתונים ובניית התיאוריה במחקר איכותי. בתוך: צבר בן- יהושוע, נ. מסורות וזרמים במחקר האיכותי. תל אביב: דביר.

סקאמפ, ר'. (1991). הבנה רלציונית והבנה אינסטרומנטלית, חלקים א'-ב'. על"ה 8 ועל"ה 9. ירושלים: האוניברסיטה העברית, המרכז להוראת המדעים.

רגב, ח. ושמעוני, ש. (2000). לשוחח מתמטיקה- למה? מדוע? ואיך? על"ה 25, עמ': 77-90. ירושלים: האוניברסיטה העברית, המרכז להוראת המדעים.

Glaser, B.G (1978). Theoretical Sensitivity CA: Sociology Press.

Biggs, J. B., and Collis, K.F., (1982) Evaluating the Quality of Learning. New York: Academic Press.

מאמרים וספרים בנושא:

Cobb, P. (1995). Mathematical learning and small-group ineraction: four case studies. In P. Cobb & H. Bauersfeld (Eds.), The emergence of mathematical meaning: interaction in classroom cultures (pp.25-130). New Jersey: Hillsdale.

King, A. (1994). Guiding knowledge construction in the classroom: Effects of teaching children how to question and how to explain. American Educational Research Journal, 31, 338-368.

Lampert. L. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the answer: Mathematical; knowing and teaching. American Educational Research Journal, 27 (1), 29-63.

Schoenfeld, A.H. (1992). Learning to think mathematically: problem solving, Metacognition, and sense making in mathematics. In D. A. Grouws, Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 165-197). New York: MacMillan.