ידע מתמטי להוראה (MKT) ואיכות הוראת המתמטיקה (MQI: מחקר ראשוני (exploratory).

Hill, C.H., ET AL., (2008). Mathematical knowledge for teaching (MKT) and the Mathematical quality of instruction MQI): an exploratory study, Cognition & Instruction, 26, 430-511.)

מילות מפתח: ידע מתמטיקה, ידע מתמטי להוראה, הוראה איכותית

המאמר תורגם מאנגלית ושוכתב לעברית ע"י ד"ר פנינה כץ ממכון מופ"ת

זהו מאמר רחב היקף (מכיל כ-70 עמודים) המתאר מחקר בנושא של הוראת מתמטיקה. המחקר מתייחס לטענה לפיה יש קשר בין הידע המתמטי של מורים לבין איכות ההוראה של המקצוע. במיוחד מתמקדים החוקרים בידע מתמטי להוראה (MKT) הכולל הן את הידע המתמטי המשותף לעל העוסקים במקצועות שונים והן את הידע המתמטי הייחודי להוראה.

החוקרים השתמשו בחקר מקרים ובנתונים כמותיים כדי לפרט כיצד MKT קשור לאיכות הוראת המקצוע. למרות קשר משמעותי, חזק וחיובי בין רמות של MKT לבין איכות ההוראה, נמצא גם שיש כמה גורמים אחרים המתווכים בקשר הזה, תומכים או מעכבים את השימוש בידע ההוראתי.

מן המחקר עולה כי ידע מורים מבוסס הוא בעל השפעה על ההוראה ועל הישגי התלמידים. עם זאת חסרה עדיין הבנה מעמיקה/ברורה לגבי הדרך, ה"איך", שבו ידע המורים מניע תהליכי למידה בקרב תלמידים. אין מחקרים שבדקו את הפרקטיקה של מורים בעלי ידע-רב (higher knowledge) לעומת מורים בעלי ידע-מועט (lower knowledge).

העדר זה מותיר פערים משמעותיים בידע התיאורטי הקיים וופערים משמעותיים בהמלצות לקובעי מדיניות ולמכשירי מורים ומעלה שאלות כמו: כיצד בא הידע לידי ביטוי בהוראה? האם מורים שהם בעלי higher knowledge מציעים הוראה איכותית שונה? או שהם רק מונעים שגיאות הנעשות ע"י מורים בעלי lower knowledge? באילו מטלות הוראה ידע המורים בולט וגלוי יותר? כיצד הקשר בין ידע והישגים ואיכול הוראה מתווך ע"י אמונות, פרקטיקות וחומרי למידה?

המאמר מאיר את הדינמיקות שבשימוש בידע בהוראה ע"י בחינה של הקשר בין הידע המתמטי להוראה (MKT) של חמישה מורים ואת איכות ההוראה שלהם.

הבהרת המושגים:
ידע מתמטי להוראה – ידע המתימטיקה של אנשים במקצועות שונים וידע דיסציפלינרי שמבהיר מדוע וכיצד פרוצדורות מתמטיות מסוימות עובדות, מהי הדרך הטובה ביות להגדיר מונח מתמטי ברמת כיתה זאת או אחרת, מהם סוגי השגיאות שתלמידים נוטים לעשות בתחום תוכן זה או אחר וכדומה.
האיכות המתמטית של הוראה – שילוב של מספר ממדים המאפיינים את הנמרצות והעושר של השיעורים במקצוע, כולל הנוכחות או ההיעדרות של שגיאות במתימטיקה, הסברים מתמטיים והצדקות, וייצוגים מתמטיים.

שאלות המחקר: מהו הכוח של הקשר בין ידע מתמטי להוראה לבין האיכות של ההוראה?;מה מאפשר(affords ) הידע המתמטי להוראה? כיצד העדרו מגביל את ההוראה?; ושאלות פרשניות: אילו גורמים מתווכים את ביטויי הידע המתמטי בהוראה?; באילו מטלות הוראה בולט הידע המתמטי? .

ידע דיסצפילנרי להוראה(מתימטיקה)
בהשפעת דגם ידע המורים של שולמן (Shulman, 1986) חוקרים רבים עסקו במחקר תיאורי על ידע מתמטיקה של מורים. באמצעות ראיונות, מבחנים למורים ותצפיות ישירות הם הגיעו לחשיפת בעיות בתחום (למשל, Ball, 1990,Even, 1993, Tirosh et al., 1999). רוב המחקרים הללו השתמשו בפרדיגמה הכמותית וראו בסטודנטים להוראה את אוכלוסיית המחקר. רבים התמקדו בהארת הניגוד של הידע המתמטי של מורים ולא בחנו כמותית את עוצמת הקשר בין ידע מורים לבין איכות ההוראה. מספר מאמרי מפתח אכן התייחסו לידע מורים במתמטיקה ולהוראת מתמטיקה (Borko et al., 1992 Fennema, et al., 1993, Lloyd & Wilson, 1998 ועוד), והם נסקרים בהרחבה במאמר זה.

ניתן לסווג מאמרים אלה לשתי גישות: גישה של "חוסר"(deficit) שבה החוקרים נשענים על הקשר בין העדר הבנה מתמטית של המורה ודפוסי הוראתו (למשל, Cohen, 1990, Putnam et al., 1992); וגישה של "איפשור"(affordance) לפיה החוקרים מאירים את האיפשור שהבנה מתמטית יוצרת לתרבות הכיתה ולהוראה בה (Lloyd & Wilson, 1998, Lampert, 2001).

יש במאמר סקירה של שתי קבוצות המאמרים ממצאיהם והמסקנות והתובנות העולות מהם.

המחקר הנוכחי - המאמר מתאר ניסיון לבחון בדרך יותר פורמלית את הקשר בין ידע דיסציפלינרי לבין הוראה, להעריך את עוצמתו בדרך כמותית ולתאר את הגורמים המשפיעים עליו בדרך איכותית.
המחקר התבצע באמצעות כלי חדש ובאמצעות עדשות חדשות ובחן את איכות הוראת המתמטיקה ואת הידע המתמטי להוראה שיש למורה. המאמר נסמך רבות על המאמרים הקודמים – שגיאות, ייצוגים, הסברים- ויוצר פורמליזציה שלהם כגורמים של איכות הוראת המתימטיקה. המאמר בוחן באמצעות חקר מקרים מעמיק, כיצד ידע מורים עולה במהלך ההוראה.

בעמודים 436-496 מתוארת שיטת המחקר ומתואר כל המקרים שנחקרו ע"י הכותבים.

מסקנות וסיכום – א)המסקנה הברורה ביותר העולה מן המחקר, על אף מגבלותיו, היא שקיים קשר חזק בין מה שהמורה יודע, הדרך בה הוא יודע ומה שהוא עושה עם הידע הזה בהקשר של הוראה.

ב)הגורמים המתווכים שנמצאו במחקר הם: האמונות של המורים על הדרך בה יש ללמוד מתמטיקה וכיצד להופכה למקצוע מהנה ללמידה, האמונות של המורים על חומרי הלמידה ועל הדרך שיש להשתמש בהם והנגישות של חומרי למידה למורים. עם זאת השפעות אלה מחווירות לעומת הידע עצמו. בכל המקרים שנותחו איכות ההתאמות שנעשו ע"י חומרי הלמידה , המטרות שהוצבו ללמידת הלומדים ואף האמונות על מתמטיקה עוצבו ע"י ידע המורה.

ג)המורים בעלי הידע הרב יותר שהשתתפו במחקר חשבו שידע מתמטי מסייע בעיקר במניעת שגיאות ובשיפור הוראת המקצוע. אצל כולם השיעורים היו עשירים, הועלו בהם דוגמאות מעניינות ומתאימות והם זימנו אפשרויות למידה רבות. בקרב המורים בעלי הידע הפחות כל אלה היו חלשים. משתנים של עושר המתמטיקה, הקשר בין העבודה בכיתה לבין מתמטיקה והתגובות לתלמידים נמצאו בעלי קשר מתון יותר לידע זה. אלה מושפעים כנראה יותר מאמונות המורים הנ"ל מאשר מהידע.

ד)השימוש בשפה מתמטית מדויקת נמצא בקשר חלש יותר לאיכות ההוראה. יתכן שגורמים כמו יכולת ורבלית כללית משפיעים בנקודה זו (Sleep, 2007 ).

ה)המחקר אף חשף מקומות נוספים שבהם יש לידע המתמטי של המורה תפקיד חשוב. בין היתר ניתן לראות זאת ביכולת או העושר האינטלקטואלי של המורה, בהתייחסות לסוגיות של שוויון בבחירה של דוגמאות או ביכולת ליצור רצפים מדורגים של מטלות ועוד.

ו) בין היתר, ניתן לטעון שכל הממצאים נובעים מהידע הפדגוגי של המורה ולאו דווקא מהידע המתמטי שלו. לדעת הכותבים יכולות פדגוגיות כלליות כמו משמעת או יצירת מוטיבציה היו דומות לגבי כל המקרים שנחקרו ולכן השפעתם, בהקשר זה, נוטרלה. המאמר מביא הסתייגויות ומגבלות נוספות של המחקר.

ז) הבחנה נוספת בדבר הקשר בין ידע מתמטי ואיכות הוראת המתמטיקה העולה ממחקר זה היא בעלת חשיבות מיוחדת לקובעי מדיניות המבקשים לחזק את ידע המורה לא רק באמצעות תוכניות ישירות אלא גם ע"י פעילויות משניות יותר. אותרו שלושה גורמים מתווכים בין ידע להוראה: השימוש בחומרי למידה; אמונות על מתמטיקה ; 3. השפעות של ההתפתחות המקצועית.

למרות שלישיית גורמים משפיעים אלה, השורה התחתונה היא שעל קובעי מדיניות למצוא את האמצעים לשפר את הידע הדיסציפלינרי של המורים שבלעדיו לא יתרחשו שיפור בהוראה ושיפור בלמידה של התלמידים.

ביבליוגרפיה

Ball, D.L. (1990). Prospective elementary and secondary teachers' understanding of division, Journal for Research in Mathematics Education, 21(2), 132-144.
Borko, H., et al., (1992). Learning to teach hard Mathematics: do novice teachers and their instructors give up too easily? Journal for Research in Mathematics Education, 23(3), 194-222.
Cohen, D.K. (1990). A revolution in one classroom: the case of Mrs. Oublier, Educational Evaluation and Policy Analysis, 12, 311-330.
Even, R. (1993 ). SM knowledge and PCK: prospective secondary teachers and the function concept, Journal for Research in Mathematics Education, 24(2), 94-116.
Fennema, E., et al., (1993). Using children's mathematical knowledge in instruction American Educational Research Journal, 30(3), 403-434.
Lampert, M. (2001). Teaching problems, New Haven, CT: Yale University Press.
Lloyd, G.M., & Wilson, M. (1998). Supporting innovation: the impact of a teacher's conceptions of functions of his implementations of a reform curriculum, Journal for Research in Mathematics Education, 29(3), 248-274.
Putnam, R.T., et al., (1992). Teaching mathematics for understanding: discussing case studies of four 5th-grade teachers, Elementary School Journal, 93(2), 213-228.
Shulman, L.S. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching, Educational Researcher, 15, 4-14.
Sleep, L. (2007 ). Investigating the knowledge demands and practices of carefully attending to and using mathematical language in teaching, PP at the annual meeting of the AERA, Chicago, IL.
Tirosh, D., et al., (1999). Prospective elementary teachers' conceptions of rational numbers, Retrieved from: http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/tirosh/Pros.El.Tchrs.html