ידע היגדי של מורים למתמטיקה: תיאורטיזציה, מדידה וזיקות בינו ובין השכלה מתמטית פורמאלית של המורים
מאת: נגה גור חרמון
מילות מפתח:
הוראת מתמטיקה
ידע פעיל
ידע פרופסיונלי
ידע קוגנטיבי
מורי מורים
מורים למתמטיקה
מושגים מתמטיים
מרצים
מתמטיקה
נגה גור חרמון (2008).
ידע היגדי של מורים למתמטיקה: תיאורטיזציה, מדידה וזיקות בינו ובין השכלה מתמטית פורמאלית של המורים
עבודת דוקטורט, אוניברסיטת בן גוריון בנגב, באר שבע, אוגוסט 2008
תקציר
הידע של מורים למתמטיקה מורכב לרוב משלושה תחומים עיקריים: ידע תוכן מתמטי, ידע על פדגוגיה של המתמטיקה וידע על תלמידים. ידע התוכן המתמטי נדון ברוב המחקרים בעיקר כתשובה על השאלה מהו ידע שרצוי שיהיה למורים למתמטיקה, והוא כולל שני סוגים עיקריים של ידע: ידע היגדי (דקלרטיבי) וידע הליכי. ידע היגדי הוא מכלול הידיעות שיש ליחיד על תחום מסוים: על עובדות, על תיאוריות, על אירועים ועל עצמים. ידע הליכי הוא מכלול הפעולות, בחשיבה ובמעשה, שבעל הידע מבצע, כמו מיומנויות מוטוריות (לרכב על אופניים) ומיומנויות קוגניטיביות (פתירת בעיות וחישובים מספריים). תוכניות הלימוד וספרי הלימוד במתמטיקה מכוונים לכך שתלמידים ירכשו בעיקר מיומנויות של ידע הליכי, והמורים בהוראה שלהם גם הם מתקדמים בידע הליכי.
המורים עצמם למדו מתמטיקה על הרעיונות שבה ועל דרכי הוראתה בבית הספר ובמוסדות להכשרת מורים, מספרי לימוד והמורים שלהם, שאף שם שמו את הדגש על ידע תהליכי. גם בהמשך דרכם המקצועית של המורים, בהשתלמויות ובהדרכה, ההתמקדות של המרצים והמדריכים היא בעיק בידע ההליכי.
בחינוך המתמטי, באופן מסורתי הדגש אינו על הידע ההיגדי כי אם על הידע ההליכי, ובנסיבות אלו לידע המתמטי ההיגדי של מורים למתמטיקה יש ביטוי מצומצם מאד וגם אין דרך מקובלת לתאר ולאפיין אותו. אמנם, השאלה מהו הידע שהמורה מביא אתו לכיתה נחקרה, אך ברוב המחקרים האלו הידע הוגדר כהשכלה הפורמאלית של המורה או כמספר הקורסים במתמטיקה שהוא למד. ההנחה היא שבתארים גבוהים יותר מציגים חלק גדול יותר המתמטיקה מאשר בתוארי המורים. מה שטרם נחקר הוא הזיקה בין ההשכלה והידע המתמטי ההליכי וההיגדי של מורים, הן בגלל חוסר האפשרות מורים במבחנים רגילים והן בשל העדר כלים חלופיים למדידות אלה. מחקר זה מציע מתודולוגיה חלופית למדידת ידע אלגברי היגדי של מורי מורים למתמטיקה, באלגברה של בית הספר, וכן בדיקה האם יש זיקה בין מאפייני הידע האלגברי ההיגדי ובין ההשכלה המתמטית הפורמאלית של מורי המורים שהוגדרה כתואר האקדמי של המשתתף.
מטרות המחקר
מטרות מחקר זה היו להתאים את המיפוי הקוגניטיבי למדידת ידע היגדי באלגברה, להציג חלק מן הידע האלגברי ההיגדי של מורי המורים למתמטיקה, לתאר את ממדיו ולמצוא את הזיקות בין הידע האלגברי ההיגדי לבין ההשכלה המתמטית הפורמאלית של מורי המורים.
מהלך המחקר
המחקר התנהל בשני חלקים. בחלק א' הותאם המיפוי הקוגניטיבי לתחום האלגברה: נבחרו מושגים, נבנו מפות מושגים ונקבעו ממדים. בחלק ב' נבנו מפות עם המושגים מחלק א' ועל פיהן אופיין הידע האלגברי ההיגדי של מורי המורים, ונבדקו הזיקות בין ממדי הידע האלגברי ההיגדי לבין ההשכלה המתמטית הפורמאלית של המשתתפים.
המשתתפים בחלק א' היו 26 חוקרים ומוחים למתמטיקה ולהוראת המתמטיקה , שמונה מדריכים למתמטיקה בחינוך העל-יסודי, חמש מורות בחטיבת ביניים ושלושה תלמידי כיתות ח'. בתהליך ארוך סייעו משתתפים אלו בקביעת רשימת 15 המושגים ששימשו בבניית מפה קוגניטיבית שבה היה על המשתתף להפיק את הרעיונות בתחום האלגברה המצויים ברשותו. בחירת המושגים נעשתה בשלבים, בתהליך מסנן שנמשך יותר מחצי שנה.
המפות הקוגניטיביות הראשונות נבנו על ידי ארבע מורות בחטיבת ביניים , ובסיום הניתוח נבחרו 12 ממדי ידע לתיאור הידע האלגברי ההיגדי של מורי המורים. ממדים אלו הופקו ממפות קוגניטיביות במחקרים קודמים בתחומי תוכן שונים במתמטיקה והותאמו למדידת ידע אלגברי היגדי. נקבעו שני סוגים של ממדים: ממדי תוכן וממדי ארגון, שיחד מספקים תיאור רחב יחסית של הידע האלגברי ההיגדי של כל משתתף.
בחלק ב' של המחקר היו שני שלבים. בשלב הראשון אופיין הידע של מורי המורים שבנו מפות קוגניטיביות מרשימת 15 המושגים ונקבעו ערכים ל-12 הממדים אצל כל משתתף. בשלב השני נבדקו הזיקות בין ממדי הידע האלגברי ההיגדי לבין ההשכלה המתמטית הפורמאלית של המשתתפים תוך קיבוץ הממדים לשבעה ממדים כוללים יותר.
המשתתפים בחלק ב' היו 13 מורים למתמטיקה: שבעה מרצים במכללה או אוניברסיטה ( שלוש נשים וארבעה גברים) ושש מדריכות בחינוך העל-יסודי. בקבוצת המרצים לכולם יש תואר ראשון במתמטיקה , לשישה תואר שני ושלישי במתמטיקה או הוראת מתמטיקה.
הממצאים
א. התקבלו תיאור ואפיון של הידע האלגברי ההיגדי של כל אחד מהמשתתפים במחקר באמצעות 12 ממדים, שבעה ממדים הנוגעים לתכנים מתמטיים, שהם ממדים רעיוניים, וחמישה ממדים הנוגעים לארגון הידע – ממדים חזותיים. כל אחד מהממדים מאפשר הסתכלות שונה על הידע ההיגדי, ויחד מתקבל חלק מה"שלם" (את "השלם" אי אפשר לייצג גם באמצעות מפה קוגניטיבית). כמו כן, נבנה לכל משתתף פרופיל ידע אלגברי היגדי על פי משפט מיפוי שהורכב מכל הממדים.
ב. לא נמצאו זיקות מובהקות מבחינה סטטיסטית בין ההשכלה המתמטית הפורמאלית לבין ממדי הידע האלגברי ההיגדי אולם הסתמנו זיקות חלשות או חלקיות שעליהן הצביעה החוקרת ד"ר נגה גור חרמון ואותן תיארה.
· יש זיקות חלשות בין ארבעה ממדים לבין ההשכלה המתמטית הפורמאלית של מורי המורים: מושגים חשובים ף משמעות המושג וההיבטים שבה, סוג הרעיונות וייחודיות הידע.
· לשלושה ממדים אין זיקה להשכלה המתמטית הפורמאלית: מופשטות הידע והרציונאל, מורכבות וקישוריות הידע וארגון הידע ועומק הידע.
הממדים שנמצאה בהם זיקה חלשה להשכלה המתמטית הפורמאלית של מורי המורים
מתוך ארבעת המושגים החשובים אצל מורי המורים, לשניים, תבנית ופונקציה, יש זיקה להשכלה, כל שתבנית הוא מושג חשוב אצל כל המדריכים ואצל שליש (2) מהמרצים, ופונקציה היא מושג חשוב אצל שישה מרצים (מ-7) ואצל שליש (2) מהמדריכים.
יש זיקה בין המשמעות מושג וההיבטים שבה לבין רמת ההשכלה המתמטית של מורי המורים: בקבוצת המרצים במשמעות המושגים החשובים יש יותר רעיונות ויותר גיוון בהיבטים מאשר בקבוצת המדריכים. אצל המרצים יש יותר הגדרות, דוגמאות, הכללות והשוואות מאשר אצל המדריכים. למושג פונקציה המדריכים נתנו רק הגדרה אחת והמרצים נתנו לפחות הגדרה אחת ושילבו דוגמאות. כמו כן, מספר הרעיונות שמבטאים זיקות בין משוואה ופונקציה גדול יותר אצל המרצים מאשר אצל המדריכים.
יש זיקה גם בין סוג הרעיונות לבין ההשכלה המתמטית הפורמאלית של מורי המורים: רעיונות מתמטיים למרצים יש יותר מאשר למדריכים, רעיונות דידקטיים יש למרצים פחות מאשר למדריכים.
יש זיקה בין ייחודיות הידע האלגברי ההיגדי לבין ההשכלה המתמטית הפורמאלית של מורי המורים. המרצים, יותר מאשר המדריכים, עצמאיים במחשבתם ומבטאים רעיונות סובייקטיביים.
הממדים שאין להם זיקה להשכלה המתמטית הפורמאלית של מורים המורים
למפשטות הידע ולרציונאל של המפה המושגית אין זיקה להשכלה המתמטית הפורמאלית של מורי המורים. אצל המדריכים מפשטות הידע מעט גבוהה יותר, אך ההבדל אינו מובהק. הרציונאל למפה הוא חלק מהממד המתאר את מופשטות הידע, ובין מוקדי הרציונאל להשכלה המתמטית הפורמאלית של מורי המורים יש זיקה- כל המרצים מתמקדים ברציונאל ובמושגים, והמדריכים מתמקדים במגוון עניינים אחרים. המרצים הציעו מושגים חדשים (מהקטגוריה מושג חדש) מתחום המתמטיקה, ובקרב המדריכים רק אצל חלקם המוקד לרציונאל היה מתחום מושגי מתמטי.
לממד מורכבות וקישוריות בידע אין זיקה להשכלה המתמטית הפורמאלית בכל הנוגע לצד הכמותי של הממד, אך כאשר מדובר בתוכן מתמטי אקדמי גבוה, ניכרת זיקה- למרצים יש יותר רעיונות מתחום המתמטיקה האקדמית הגבוהה מאשר למדריכים, אם כי גם אלה מעטים.
ארגון הידע שונה במידה רבה אצל כל מורי המורים, אך לקבוצת המדריכים והמרצים אין מאפיינים קבוצתיים ייחודיים לארגון הידע, ולכן גם אין תבנית או דפוס ברורים לזיקה בין הארגון להשכלה המתמטית הפורמאלית. בארגון שולב הממד עומק הידע, שגם לו אין זיקה להשכלה המתמטית הפורמאלית של מורי המורים, מפני שהעומק גבוה יותר אצל המדריכים, מפני שיש אצלם יותר אשכולות, אך העומק גבוה יותר אצל המרצים כי יש אצלם יותר תת- אשכולות.
מסקנות
מהממצאים עולה, שכאשר הזיקות בין ממדי הידע להשכלה המתמטית הפורמאלית חלשות ויש הבדלים קטנים בין המרצים והמדריכים, הם יכולים לנבוע מההבדלים בהשכלה זו, אך אין זו בהכרח הסיבה היחידה. סיבה אפשרית נוספת, אשר מלכתחילה לא הובאה בחשבון ועתה נראה שיש לה משקל, היא ההבדלים המהותיים בין העיסוקים של משתתפי המחקר. המרצים מתמקדים בהוראת המתמטיקה ובמחקר אקדמי. דרך הוראת המתמטיקה באקדמיה שונה מזו שבבתי הספר, והמרצים אף מעורבים במחקר, בקריאה שוטפת של מאמרים רלוונטיים ובדיונים עם עמיתים. הם פחות מעורבים מאשר המדריכים בתוכניות הלימודים וביישומן בשטח. המדריכים לעומתם נמצאים יותר בבית הספר ובתפקיד משלב של מתמטיקה ודידקטיקה.
בממדים שלא נמצא בהם הבדל בין המרצים למדריכים או נמצא הבדל קטן אפשר, כי למרות שהמרצים כנראה מיטיבים לדעת אלגברה, הרי הידע האלגברי של בית הספר נשאר אצלם מבודד, האלגברה של בית הספר היא בועה מחוץ לתחומי המתמטיקה הגבוהה יותר בידע שלהם, והיא כמעט אינה קשורה לתחומי מתמטיקה אחרים. זו דוגמה להסכמה של חוקרים בתחום המתמטיקה בדבר ב פער גדול בין מתמטיקה בבית הספר ובין מתמטיקה עיונית באוניברסיטה (Lamert, 1989). הסבר נוסף יכול להיות העיסוק הדומה של כל מורי המורים, אשר מלמדים ומנחים מורים לעתיד ומורים בשטח וייתכן כי השפעתו של עיסוק זה תרמה לטשטוש של ההבדלים בהשכלה על ממדים מסוימים. ייתכן שגם התפתחותם המקצועית של המדריכים בשנות ההוראה וההדרכה שלהם, גישרה על הפער האקדמי, לפחות בנוגע לתוכני האלגברה של חטיבת הביניים.
המיפוי הקוגניטיבי אפשר לאפיין את הידע האלגברי ההיגדי ולהציג ממדים רבים של הידע האלגברי ההיגדי של מורי מורים מבחינת תוכנו – הרעיונות המתמטיים, המושגים החשובים ומשמעותם, מופשטות הידע והרציונאל – ומבחינת ארגונו: המורכבות, הקישוריות, הארגון, העומק והייחודיות. הצגה מפורשת של הידע האלגברי ההיגדי של מורי מורים, סטודנטים להוראה ותלמידי בית ספר יכולה לאפשר עיסוק בידע זה באופן ישיר ומפורש, ולהסתמך עליו-בסוגיות שונות, כגון תכנון רצף ההוראה, דרכי הערכת ידע התלמידים והאופי של תשובות המורים לשאלות התלמידים.
yyya
ד"ר גור חרמון, נגה שלוםאנו מעוניינים בעותק מתנה לספריה של עבודת הד"ר שלך: ידע היגדי של מורים למתמטיקה…אשמח לתגובה ושיתוף פעולה. תודה , מירי ספריה
השתתפתי בהשתלמות מיצוי תש"ע במודיעין ונתבקשתי להכין עבודת סיכום בנושא ניתוח תוצאות המבחנים שערכתי במשך השנה. לכן נתבקשתי לקרוא "מבחנים במתמטיקה 1993, בדיקה ושימוש בתוצאות. לא מצאתי המאמר. האם את יכולה לשלוח לי אותו . תודה מראש עירית
שלום עירית,זו עבודת המסטר שלי שעשיתי אותה באוניברסיטת תל אביב בחוג לחינוך.ישנו עותק אחד לפחות בספריה,בהצלחה,נגה