אי שוויונים אלגבריים: דרכי חשיבה של תלמידים וידע פדגוגי תכני של מורים

מקור: אוניברסיטת תל אביב, ביה"ס לחינוך, תקצירי עבודות מחקר לתואר שלישי, ועדת תלמידי מחקר, 2005.

קיימת הסכמה רחבה לכך שמורים, המלמדים נושא מתמטי מסוים, צריכים להכיר דרכי חשיבה של תלמידים, שגיאות  אופייניות  לנושא  ומקורותיהן  האפשריים  (לדוגמא, קרסנטי  והרכבי,  2003 ; Shulman, 1986). מחקרים מראים כי חוסר האפשרות לחזות ולהתייחס לקשיי תלמידים, פוגע ביכולת המורים לתכנן וללמד שיעורים מקושרים הבנויים היטב. מורה המתייחס לדרכי חשיבה וידע קודם של תלמידיו יכול לפתח פעילויות מתאימות עבורם (Even & Tirosh, 1995) ויכול ליישם מודל הוראה המדגיש הבנה מושגית (Gearhart, Saxe, Seltzer, Schlackman, Ching, Nasir, Fall, Bennett, Rhine & Sloan, 1999).

מטרת המחקר

מחקר זה עסק באי שוויונים אלגבריים.

במחקר נבדקו:
* דרכי חשיבה של תלמידים, טעויות שכיחות ומקורותיהן בנושא אי שוויונים.
* ידע פדגוגי תוכני של מורים על דרכי חשיבה נכונות ושגויות של תלמידים בנושא אי שוויונים.
* אופן ההתייחסות של מורים לשגיאות בתהליך ההוראה של אי שוויונים.

מתודולוגיה

שאלות המחקר

לשם כך נשאלו שאלות המחקר הבאות:

1.  שאלות לגבי ידע מתמטי של תלמידים:      

א.  באילו דרכים נכונות תלמידים פותרים סוגים שונים של אי שוויונים? 
ב.  מהן השגיאות האופייניות של תלמידים בפתרון אי שוויונים?
ג.  מהם המקורות האפשריים לשגיאות של תלמידים בפתרון אי שוויונים?

2.  שאלות לגבי ידע של מורים:

א.  האם מורים מכירים  דרכים נכונות שונות בהן תלמידים פותרים אי שוויונים?
ב.  האם מורים מכירים שגיאות אופייניות של תלמידים בפתרון אי שוויונים?  
ג.  האם מורים מכירים סיבות אפשריות לשגיאות של תלמידים בפתרון אי שויונים?

א. האם מורים מתייחסים לשגיאות האופייניות ולמקורותיהן בתכנון ההוראה של אי שוויונים?
ב. האם מורים מתייחסים לתשובות שונות ולתשובות שגויות במהלך ההוראה של אי שוויונים, וכיצד?
ג. האם מורים יוזמים שיח על שגיאות אופייניות בפתרון אי שוויונים?

מערך המחקר

המערך שתוכנן לצורך בדיקת כל אחת  משלוש השאלות המרכזיות של המחקר:

ידע תלמידים

במחקר נבדקו 481 תלמידים מכיתות י ומכיתות יא, ברמה של 4  יחידות לימוד או 5 יחידות לימוד במתמטיקה, לאחר שלמדו את הנושא "פתרון אי שוויונים". לצורך המחקר נבנה שאלון המכיל 30 תרגילים ובו התייחסות לסוגים שונים של אי שוויונים (אי שוויונים ממעלה ראשונה, מערכות אי שוויונים, אי שוויונים ממעלה שניה, אי שוויונים עם שורשים, אי שוויונים עם ערך מוחלט ואי שוויונים רציונלים) ולמגוון סוגים של פתרונות (קבוצת אמת סופית, קבוצת אמת אינסופית, כל המספרים הממשיים, כל המספרים הממשיים פרט לקבוצה סופית וקבוצה ריקה). התלמידים התבקשו לפתור את התרגילים ולהסביר את שלבי הפתרון. 32 תלמידים, מבין אלו שהשיבו על השאלון, רואיינו כדי לבדוק בצורה מעמיקה את דרכי החשיבה של התלמידים וכדי לאתר מקורות לשגיאות.

ידע מורים

במחקר השתתפו 37 מורים למתמטיקה בחטיבה העליונה המלמדים ברמות של 4 ו 5 יחידות לימוד.
המורים התבקשו להתייחס לשאלון שנבנה עבור התלמידים ולציין לגבי כל תרגיל דרכים נכונות ודרכים שגויות לפתרון וכן סיבות לשגיאות של תלמידים.

התייחסות מורים לשגיאות תלמידים בתהליך ההוראה

מבין 37 המורים נבחרו 3 מורות לצורך מעקב אחר תהליך ההוראה. מורה אחת בעלת ניסיון של שנים רבות בהוראת אי שוויונים, מורה אחת שלימדה את הנושא בפעם החמישית ומורה שלימדה את הנושא פעם ראשונה.

המעקב כלל בדיקה של תכנון השיעורים וביצועם. בשיחות שנערכו עם המורות, בשלב התכנון, הושם דגש על דרכי חשיבה ועל קשיים של תלמידים בפתרון אי שוויונים. כמו כן המורות נחשפו לגישות ולדרכי פתרון, אותן לא הכירו. במהלך ההוראה נערכו תצפיות בכל השיעורים ושיחות עם המורים לאחר כל שיעור.

ממצאים לגבי ידע תלמידים

אתייחס, ראשית, לדרכים הנכונות בהן תלמידים פותרים סוגים שונים של אי שוויונים.
במחקר נמצא כי ברוב המקרים תלמידים פותרים אי שוויונים בדרכים אלגבריות וחלק לא מבוטל מהם מציג פתרונות שגויים. יש המשתמשים בדרך גרפית לפתרון אי שוויונים ממעלה שניה. מרבית הפותרים בדרך גרפית מציגים פתרונות נכונים.

בנוסף, נמצאו השגיאות השכיחות, המפורטות להלן, של תלמידים בפתרון אי שוויונים:

1. הסקת מסקנות שגויות בתרגילים בהם מתבטל הנעלם.
2. שגיאות מהסוג
3. כפל או חילוק שני האגפים של אי שוויון בביטוי ללא התייחסות לערך הביטוי (חיובי, שלילי או אפס)
4. העלאה בריבוע של שני האגפים של אי שוויון ללא התייחסות לערכם.
5. שימוש שגוי ופירוש מוטעה של הקשרים הלוגיים "או" / "וגם".
6. טעויות הקשורות בתחום הגדרה.

אציין כי המקורות העיקריים לשגיאות הן הכללת יתר או יצירת אנלוגיות לפתרון משוואות.

ממצאים ומסקנות לגבי ידע מורים

באשר למקורות אפשריים לשגיאות של תלמידים נמצא כי מורים מעטים ציינו סיבות וגם ההתייחסות של מורים אלו הייתה רק לחלק מהשגיאות.

ממצאים ומסקנות לגבי התייחסות מורים לשגיאות תלמידים בתהליך ההוראה

שלוש המורות התייחסו באופנים שונים לשגיאות. המורה הותיקה בחרה באסטרטגיה של הצגת מגוון תרגילים ובחירת מק;רים מתמטיים שונים כאמצעי למניעת שגיאות. המורה הטירונית, חסרת הניסיון, יישמה שיקולי דעת מההדרכה לגבי בחירת סוגי תרגילים המזמנים שגיאות ובנתה פעילויות הקשורות בתרגילים אלו. המורה השלישית לא הייתה מוכנה ליזום דיון בשגיאות אופייניות מתוך חשש שתלמידים יאמצו אותן.

 אבהיר כי שלוש המורות בחרו באופן שונה את הדרכים לפתרון שהציגו לתלמידים במהלך ההוראה וכי השיקולים לבחירת דרכי הפתרון היו קשורים להרגלים, לחשש לאמץ גישות חדשות ולרצון להתחדש ולשנות.

השתמעויות המחקר ותרומתו

החלק הראשון של המחקר מרחיב ומבסס את גוף הידע על שגיאות תלמידים ומקורותיהן בנושא אי שוויונים אלגבריים. אפשר ורצוי להשתמש בממצאים, המציגים דרכי חשיבה נכונות ושגויות ומקורות לשגיאות בפתרון אי שוויונים כחלק מתשתית תיאורטית לבניית תכנית להכשרת מורים ולשיפור הידע התוכני פדגוגי של מורים בתחום זה. 

הממצאים במחקר זה יכולים לשמש גוף ידע, ממנו ילמדו מורים על שגיאות תלמידים ומקורותיהן, על החשיבות שבהבנת דרכי חשיבה של תלמידים ועל האפשרויות הגלומות בידע זה להשבחת ההוראה.