יחסי הגומלין בין מוזיקה למתמטיקה בעיני המתבונן: התמקדות בסוגים שונים של מומחיות

Azaryahu, L., Ariel, I. & Leikin, R. (2024). Interplay between music and mathematics in the eyes of the beholder: focusing on differing types of expertise. Humanities and Social Sciences Communications, 11, 1153. https://doi.org/10.1057/s41599-024-03631-z

עיקרי הדברים:

• יש השפעה חיובית משמעותית של שילוב מוזיקה בהוראת מתמטיקה
• מוזיקה ככלי פדגוגי מסייעת בחיבור מושגים מתמטיים להקשרים מחיי היומיום, ובכך הופכת את השיעורים למשמעותיים ורלוונטיים יותר
• גישה רב-תחומית זו יש בה פוטנציאל להגביר את העניין והמוטיבציה של תלמידים במתמטיקה
• בעוד שתיאורטיקנים עוסקים ישירות בסוגיות הקשורות למבנה, חשיבה יצירתית, יופי ותחושת הפליאה בגילוי תופעות; מחנכים מנצלים היבטים משותפים אלה כדי לשפר את ההבנה של התלמידים, לספק הזדמנויות ללמידה התנסותית ולהעמיק את הידע התיאורטי של התלמידים

מחקר זה בחן את הקשרים הייחודיים בין מוזיקה למתמטיקה כפי שהם נתפסים על ידי ארבע קבוצות של מומחים: מתמטיקאים ומוזיקאים מקצועיים, וכן מכשירי מורים בשני תחומים אלה. נחקרו ארבע קבוצות של משתתפים, הכוללות תיאורטיקנים ומחנכים מאוניברסיטאות ישראליות שונות. במהלך ראיונות חצי-מובנים, משתתפי המחקר נשאלו על השקפותיהם בנוגע לקשרים בין מתמטיקה למוזיקה.

למאמר באנגלית

לקריאה נוספת: כל סיכומי המאמרים על הוראת מתמטיקה 

רקע: הקשר בין מתמטיקה למוסיקה

הקשר בין המוזיקה המערבית למתמטיקה מוכר עוד מימי פיתגורס, אפלטון ואריסטו, שכתבו על החפיפה וההקבלות בין שתי הדיסציפלינות. שני התחומים – מוזיקה ומתמטיקה – מתבטאים באמצעות שפה ייצוגית וכתב סימנים סמלי. מושגים מתמטיים כמו סימטריה, תבניות, יחס וחלוקה באים לידי ביטוי במוזיקה. במוזיקה, מרווחים, קצב, משך, מהירות ומושגים מוזיקליים רבים מיוצגים באופן טבעי על ידי מספרים. לדוגמה, המרווחים בין צלילים הרמוניים במוזיקה נקבעים על ידי יחסים בין מספרים שלמים קטנים. כאשר פורטים על שני מיתרים באותו אורך, היחס בין אורכיהם הוא 1:1, והתוצאה היא צלילים זהים והרמוניים (צלילים המתמזגים היטב זה עם זה). יתרה מזאת, יחסים שונים של אורכי מיתרים יפיקו מרווחים הרמוניים שונים, כמו האוקטבה (יחס מיתרים של 1:2), הקווינטה (2:3), והקוורטה (3:4).

מוזיקה הייתה נושא למחקר בקרב מתמטיקאים כמו דקארט, קפלר ואוילר, ומצד שני מוזיקאים נמשכו לאפשרויות הטמונות במדע המתמטיקה לניתוח יצירות והלחנה. שיטות הלחנה השואבות השראה מרעיונות מתמטיים כללו, בין היתר, קונטרפונקט (קול שני המופיע בו-זמנית עם הקול הראשון במרקם פוליפוני), קנון סרטני (הקול השני הוא חיקוי של הקול הראשון בכיוון ההפוך), או פלינדרום (קטע שניתן לנגן מההתחלה לסוף ומהסוף להתחלה, במתמטיקה y = -x), ועיצובים גיאומטריים של מנגינות מוזיקליות (למשל סימטריה רפלקטיבית, שבה מנגינה חוזרת על עצמה בצורה מראתית). בנוסף, דימויים מתמטיים במוזיקה מערבית מתבטאים מוזיקלית בתורת ההרמוניה, תורת הקצב ותורת הצורות. תורת ההרמוניה חושפת חוקיות בסיסית באופן שבו צלילים משתלבים יחד, כיצד הם מתייחסים זה לזה, וכיצד הם מתפזרים לאורך זמן. תורת הקצב מתייחסת לאופן שבו הצלילים מאורגנים בזמן ויחסי ההמשכיות ביניהם. ולבסוף, תורת הצורות עוסקת באופן שבו אירועים מוזיקליים מאורגנים והפרופורציות הנוצרות בין חלקים מוזיקליים.

לאור זאת, המחקר הנוכחי מבקש לחשוף את הקשרים העמוקים בין הדיסציפלינות, כפי שהם נתפסים על ידי מתמטיקאים, מוזיקאים ומחנכים בתכניות להכשרת מורים. באמצעות אימוץ פרספקטיבה הוליסטית, מחקר זה מבקש להדגיש את הרלוונטיות המעשית של קשרים בין-תחומיים אלה הן בהכשרת מורים והן בהוראת תלמידים.

המחקר מציע מודל של תפיסות מומחים לגבי הקשר בין מתמטיקה למוזיקה, שיש לו כוח תיאורי והסברי, החושף הבדלים בין ארבע קבוצות המומחים. תיאורטיקנים בשני התחומים הדגישו את המתמטיקה ככלי מפתח לניתוח וליצירת מוזיקה. מחנכים מוזיקליים הדגישו את תפקיד המוזיקה ככלי ללמידת מתמטיקה. כל משתתפי המחקר, ללא תלות בתחום מומחיותם, מעריכים מבנה, יופי, תחושת פליאה, חופש וחשיבה יצירתית כמאפיינים של שני התחומים. בנוסף, כל המומחים מחזיקים בתפיסות לגבי חשיבות שילוב המוזיקה והמתמטיקה בדיסציפלינות שונות. מחקר זה פתח דלתות חדשות למחקר עתידי שבו ניתן לחקור את השימוש בתובנות המומחים ליצירת מודולים משולבים ללימוד מוזיקה ומתמטיקה, מטרה בעלת חשיבות משמעותית.

מטה-אנליזה עדכנית תומכת במחקרים קודמים, ומראה השפעה חיובית משמעותית של שילוב מוזיקה בהוראת מתמטיקה. היא מדגישה גורמים קריטיים כמו שילוב הוראת מוזיקה בהתערבויות מתמטיות, השימוש במוזיקה מרגיעה וקשורה למתמטיקה, וחשיפה בכיתות הנמוכות שמשפרים משמעותית את היעילות של מוזיקה בשיפור תוצאות למידה מתמטיות בהשוואה לקטגוריות מתווכות אחרות. מוזיקה ככלי פדגוגי מסייעת בחיבור מושגים מתמטיים להקשרים מחיי היומיום, ובכך הופכת את השיעורים למשמעותיים ורלוונטיים יותר. גישה רב-תחומית זו יש בה פוטנציאל להגביר את העניין והמוטיבציה של תלמידים במתמטיקה.

במחקר הנוכחי, נבדקו תחומי התוכן שניתן להקביל ביניהם באופן יעיל בתהליך הלמידה בכיתה, כפי שהם נתפסים על ידי מומחים למוזיקה ומתמטיקאים העוסקים באופן פעיל בהוראה באוניברסיטאות ובמכללות להכשרת מורים.

מטרת המחקר

המטרה המרכזית של המחקר הנוכחי היא לזהות את נקודות המבט של סוגים שונים של מומחים על יחסי הגומלין בין מוזיקה למתמטיקה.

שאלות המחקר

א. מהן הקטגוריות העיקריות של תפיסות לגבי הקשר בין מוזיקה למתמטיקה?

ב. כיצד ההבדלים בין קטגוריות אלה באים לידי ביטוי בקרב מוזיקאים, מתמטיקאים ומרצים בתוכניות להכשרת מורים?

משתתפי המחקר

במחקר השתתפו 16 מומחים שהתנדבו למחקר, וכללו:

4 מוזיקאים

4 מתמטיקאים

4 מרצים להוראת מוזיקה

4 מרצים להוראת מתמטיקה.

ממצאים

תפיסות המומחים לגבי הקשר בין מוזיקה למתמטיקה מורכבות משבע קטגוריות עיקריות: (1) שפה ומבנה מופשטים, כלומר תפיסת המבנה היסודי הבסיסי מצד אחד, והפרספקטיבה הפדגוגית שלהם מצד שני, (2) חופש וחשיבה יצירתית, כלומר חשיבה מחוץ לקופסה ופריצת מוסכמות, (3) יופי ואסתטיקה, כלומר חיבור המרחב המוזיקלי והמתמטי מבחינה אסתטית ומבנית מצד אחד, וככלים לחשיבה והבנה מצד שני, (4) גילוי, פליאה ורגשות, כלומר ציון הערך המוסף הטמון בכל דיסציפלינה בהיבטים הביטויים, (5) שילוב מתמטיקה ומוזיקה בדיסציפלינות שונות, כלומר שילוב התחומים המשותפים מכל דיסציפלינה ללמידה הוליסטית, (6) מוזיקה ככלי ללמידת מתמטיקה, כלומר שימוש במוזיקה לשיפור המתמטיקה, ולבסוף (7) מתמטיקה ככלי לניתוח ויצירת מוזיקה, כלומר שימוש במתמטיקה לניתוח ויצירת מוזיקה.

בעוד שתיאורטיקנים עוסקים ישירות בסוגיות הקשורות למבנה, חשיבה יצירתית, יופי ותחושת הפליאה בגילוי תופעות; מחנכים מנצלים היבטים משותפים אלה כדי לשפר את ההבנה של התלמידים, לספק הזדמנויות ללמידה התנסותית ולהעמיק את הידע התיאורטי של התלמידים.